Exercices : équations du second degré et inéquations du premier degré

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Exercice 1
Résoudre dans ℝ : −2x + 5 ≥ 11

−2x + 5 ≥ 11 ⇔ −2x ≥ 6 (on soustrait 5)

⇔ x ≤ −3 (on divise par −2 < 0 : le sens change)

Contrôle : x = −3 donne 6 + 5 = 11 ≥ 11 ✓ ; x = −4 donne 13 ≥ 11 ✓

S = ]−∞ ; −3]

Exercice 2
Résoudre dans ℝ : 2x² − 3x − 2 = 0

a = 2, b = −3, c = −2.

Δ = (−3)² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25 > 0, et √Δ = 5 : deux solutions.

x₁ = 3 − 54 = −12  ;  x₂ = 3 + 54 = 2

Vérification : 2·(1/4) − 3·(−1/2) − 2 = 0,5 + 1,5 − 2 = 0 ✓ ; 2·4 − 6 − 2 = 0 ✓

S = {−12 ; 2}

Exercice 3
Résoudre dans ℝ : x² + 6x + 5 = 0

x² + 6x = (x + 3)² − 9.

Donc x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4.

(x + 3)² − 4 = 0 ⇔ (x + 3)² = 4 ⇔ x + 3 = 2 ou x + 3 = −2 ⇔ x = −1 ou x = −5.

Vérification : 1 − 6 + 5 = 0 ✓ ; 25 − 30 + 5 = 0 ✓

S = {−5 ; −1}

Exercice 4
Résoudre dans ℝ : x − 13 ≤ 2x + 42

On multiplie les deux membres par 6 (> 0, le sens ne change pas) :

2(x − 1) ≤ 3(2x + 4) ⇔ 2x − 2 ≤ 6x + 12

⇔ 2x − 6x ≤ 12 + 2 ⇔ −4x ≤ 14

⇔ x ≥ −144 = −72 (on divise par −4 < 0 : le sens change)

Contrôle : x = −7/2 donne −3/2 ≤ −3/2 ✓

S = [−72 ; +∞[

Exercice 5
Résoudre dans ℝ : x² − 5x + 6 = 0

On cherche deux nombres dont la somme vaut 5 et le produit vaut 6 : ce sont 2 et 3.

Donc x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

(x − 2)(x − 3) = 0 ⇔ x − 2 = 0 ou x − 3 = 0 ⇔ x = 2 ou x = 3.

Vérification : 2² − 5·2 + 6 = 0 ✓ ; 3² − 5·3 + 6 = 0 ✓

S = {2 ; 3}

Exercice 6
Résoudre dans ℝ : 2x² + 8x + 2 = 0

On divise par 2 (≠ 0) : x² + 4x + 1 = 0.

x² + 4x = (x + 2)² − 4, donc x² + 4x + 1 = (x + 2)² − 3.

(x + 2)² − 3 = 0 ⇔ (x + 2)² = 3 ⇔ x + 2 = √3 ou x + 2 = −√3 ⇔ x = −2 + √3 ou x = −2 − √3.

Vérification (x = −2 + √3) : x² = 7 − 4√3, donc x² + 4x + 1 = (7 − 4√3) + (−8 + 4√3) + 1 = 0 ✓

S = {−2 − √3 ; −2 + √3}

Exercice 7
Résoudre dans ℝ : 3x − 7 < 5

3x − 7 < 5 ⇔ 3x < 12 (on ajoute 7)

⇔ x < 4 (on divise par 3 > 0 : le sens ne change pas)

S = ]−∞ ; 4[

Exercice 8
Résoudre dans ℝ : x² + 2x − 4 = 0

a = 1, b = 2, c = −4.

Δ = 2² − 4 · 1 · (−4) = 4 + 16 = 20 > 0, et √20 = 2√5 : deux solutions.

x₁ = −2 − 2√52 = −1 − √5  ;  x₂ = −2 + 2√52 = −1 + √5

Vérification (x₂) : (−1 + √5)² + 2(−1 + √5) − 4 = (6 − 2√5) + (−2 + 2√5) − 4 = 0 ✓

S = {−1 − √5 ; −1 + √5}

Exercice 9
Résoudre dans ℝ : 4x² − 25 = 0

On reconnaît l'identité remarquable a² − b² = (a − b)(a + b) avec a = 2x et b = 5.

4x² − 25 = (2x − 5)(2x + 5).

(2x − 5)(2x + 5) = 0 ⇔ 2x − 5 = 0 ou 2x + 5 = 0 ⇔ x = 52 ou x = −52.

Vérification : 4 · 254 − 25 = 0 ✓

S = {−52 ; 52}

Exercice 10
Résoudre dans ℝ : 5x − 3 > 2x + 9

5x − 3 > 2x + 9 ⇔ 5x − 2x > 9 + 3 ⇔ 3x > 12

⇔ x > 4 (on divise par 3 > 0)

S = ]4 ; +∞[