Diviser un polynôme par un autre

1L'idée de départ : comme une division entre entiers

À l'école primaire, diviser 47 par 5, c'est trouver combien de fois 5 « rentre » dans 47, et ce qu'il reste :

47 = 5 × 9 + 2,  avec  0 ≤ 2 < 5.

Le reste 2 est « trop petit » pour qu'on puisse encore y retrancher 5. La division des polynômes suit exactement la même logique. La seule différence est la manière de mesurer la taille : pour un entier, c'est sa valeur absolue ; pour un polynôme, c'est son degré. On s'arrête donc quand le reste est de degré strictement plus petit que le diviseur.

L'absence de retenues est une bonne nouvelle : une fois la disposition comprise, la division des polynômes est plus mécanique que celle des entiers. Les seules vraies difficultés sont l'alignement des colonnes et les signes.

2Vocabulaire et conventions

Le polynôme nul. Tous ses coefficients sont nuls, il n'a donc pas de terme dominant. Par convention, on pose deg 0 = −∞, avec les règles −∞ < n et −∞ + n = −∞ pour tout entier n. Cette convention n'est pas un caprice : c'est la seule qui rend vraies sans exception les deux règles ci-dessous. Elle permet aussi d'écrire simplement « deg R < deg B » même lorsque le reste est nul.

Deux règles sur les degrés, utilisées en permanence :

• deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q), avec égalité dès que deg P ≠ deg Q. Si les degrés sont égaux, les termes dominants peuvent s'annuler : c'est exactement ce qu'exploite chaque étape de la division.
• deg(P·Q) = deg P + deg Q. En effet, le terme dominant du produit est a_nb_mx^n+m, et a_nb_m ≠ 0 car un produit de deux nombres non nuls est non nul.

3Le théorème et sa démonstration

Pourquoi faut-il pouvoir diviser les coefficients ?

Chaque étape divise un coefficient par b_m. Dans ℚ, ℝ ou ℂ (des corps), c'est toujours possible. Ce n'est plus vrai si l'on impose des coefficients entiers. Par exemple, il n'existe aucun couple (Q, R) à coefficients entiers tel que x = 2x·Q + R avec deg R < 1. En effet, R serait une constante, Q aussi (comparer les degrés), et le coefficient de x donnerait 2Q = 1, impossible dans ℤ.

En revanche, si le coefficient dominant de B vaut 1 ou −1, la même démonstration fonctionne avec des coefficients entiers, car on ne divise que par ±1. Le site travaille dans ℚ : le calculateur fait tous ses calculs en fractions exactes, sans aucun arrondi.

4La méthode en six étapes

1. Ordonner et compléter. Écrire A et B selon les puissances décroissantes. Ajouter un terme de coefficient 0 pour chaque puissance manquante de A : x⁴ − 3x² + 1 devient x⁴ + 0x³ − 3x² + 0x + 1. Sans cela, les colonnes se décalent.
2. Diviser les termes dominants. Diviser le terme de plus haut degré du dividende courant par le terme dominant de B. Le résultat est le terme suivant du quotient, écrit sous le trait, à droite.
3. Multiplier. Multiplier tout le diviseur B par ce terme, et écrire le produit sous le dividende courant, chaque puissance dans sa colonne.
4. Soustraire. Soustraire ce produit du dividende courant, terme à terme. Le terme dominant disparaît toujours : c'est le but de l'étape. Les termes que le produit n'atteint pas sont simplement « abaissés ».
5. Tester le degré. Si le résultat est de degré ≥ deg B, il devient le nouveau dividende courant et l'on reprend à l'étape 2.
6. Conclure. Dès que le degré est < deg B, ce qui reste est R, et ce qui est écrit sous le trait est Q. Vérifier en recalculant B·Q + R.

La disposition en potence

En Belgique et en France, on pose la division comme pour les entiers : le dividende à gauche, le diviseur à droite d'un trait vertical, le quotient sous un trait horizontal placé sous le diviseur. Sur ce site, la feuille reprend le quadrillage Seyès d'un cahier d'écolier. Les conventions de couleur sont les mêmes partout :

• le signe − rouge en marge indique une soustraction, et le produit soustrait est écrit entre parenthèses pour ne pas oublier de changer tous les signes ;
• les termes en gris sont soit des coefficients 0 ajoutés à l'étape 1, soit des termes abaissés sans changement ;
• le surlignage jaune marque ce qui vient d'être écrit à l'étape affichée ;
• le reste final est écrit en rouge.

7Le théorème du reste, le schéma de Horner et les racines

Diviser par un polynôme de degré 1 est de loin le cas le plus fréquent, car il sert à trouver des racines et à factoriser. Ce cas a des propriétés particulières, et un raccourci de calcul.

Diviser par bx + c avec b ≠ 1

On écrit bx + c = b(x − a) avec a = −c/b. Si P = (x − a)Q₁ + r, alors P = (bx + c) · (Q₁/b) + r. Donc : le reste est le même, r = P(−c/b), mais le quotient doit être divisé par b. C'est une erreur classique de l'oublier.

Le schéma de Horner

Écrivons P = a_nxⁿ + ⋯ + a₀ et cherchons Q = q_n−1xⁿ⁻¹ + ⋯ + q₀ et r tels que P = (x − a)Q + r. En développant et en identifiant les coefficients de chaque puissance de x, on obtient :

q_n−1 = a_n,    q_k−1 = a_k + a · q_k  (1 ≤ k ≤ n−1),    r = a₀ + a · q₀.

Concrètement, on écrit les coefficients de P (avec les 0 !) sur une ligne. On abaisse le premier. Puis, de gauche à droite : on multiplie le dernier nombre obtenu par a, on l'écrit sous le coefficient suivant, on additionne. La dernière somme est le reste P(a), les autres sont les coefficients de Q. Voici l'exemple du haut de page, (2x³ + 3x² − 5x + 6) ÷ (x + 3), donc a = −3 :

On lit Q = 2x² − 3x + 4 et R = −6, comme avec la potence. Horner n'utilise que n multiplications et n additions : c'est aussi la manière la plus économique de calculer une valeur P(a).

Essayer le schéma de Horner

8À quoi sert la division des polynômes ?

Factoriser et résoudre des équations

Pour résoudre P(x) = 0 avec deg P ≥ 3, on cherche une racine a, on divise par x − a, et l'on recommence avec le quotient, de degré plus petit. Pour deviner une racine quand les coefficients sont entiers, on utilise le résultat suivant.

L'outil ci-dessous applique cette méthode jusqu'au bout : il teste tous les candidats, divise par chaque racine trouvée (avec sa multiplicité) et indique ce qu'on peut dire du facteur restant.

Calculer un PGCD : l'algorithme d'Euclide

Si A = BQ + R, alors les diviseurs communs de A et B sont exactement les diviseurs communs de B et R : tout diviseur de A et B divise R = A − BQ, et tout diviseur de B et R divise A = BQ + R. On remplace donc (A, B) par (B, R) et l'on recommence. Les degrés des restes diminuent strictement, donc on finit par obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul, rendu unitaire, est le PGCD. Le PGCD de deux polynômes n'est défini qu'à une constante multiplicative près : la normalisation unitaire le rend unique.

Fractions rationnelles, asymptotes et primitives

Diviser A = BQ + R par B donne, partout où B(x) ≠ 0 :

A(x)B(x) = Q(x) + R(x)B(x),   avec deg R < deg B.

Q s'appelle la partie entière de la fraction. Comme deg R < deg B, le terme R(x)/B(x) tend vers 0 en ±∞. Conséquences pour f = A/B :

• si deg A = deg B + 1, la droite y = Q(x) est une asymptote oblique, et le signe de R/B donne la position de la courbe par rapport à elle ;
• si deg A = deg B, Q est une constante non nulle, et y = Q est une asymptote horizontale ;
• si deg A ≥ deg B + 2, la courbe a une branche parabolique, pas d'asymptote ;
• si deg A < deg B, alors Q = 0 et y = 0 est asymptote horizontale.

Exemple. x² + 3x + 1 = (x + 1)(x + 2) − 1, donc pour x ≠ −1, f(x) = (x² + 3x + 1)/(x + 1) = x + 2 − 1/(x + 1). La droite y = x + 2 est asymptote oblique en ±∞. Comme f(x) − (x + 2) = −1/(x + 1), la courbe est sous l'asymptote pour x > −1 et au-dessus pour x < −1. Cette écriture donne aussi une primitive immédiate sur chaque intervalle où x ≠ −1 : x²/2 + 2x − ln|x + 1| + C.

9Pour aller plus loin

La division suivant les puissances croissantes

Il existe une autre division, où l'on élimine les termes de plus bas degré au lieu des plus hauts.

Exemple : 1 = (1 − x)(1 + x + ⋯ + x^k) + x^k+1. On y reconnaît le début du développement de 1/(1 − x) : cette division sert à calculer des développements limités de quotients.

Division avec des coefficients entiers

Comme vu au chapitre 3, la division euclidienne dans ℤ[x] n'existe pas toujours. Elle existe, avec quotient et reste à coefficients entiers, dès que le coefficient dominant de B est ±1. Plus généralement, sur un anneau commutatif quelconque, il suffit que le coefficient dominant de B soit inversible.

Plusieurs variables

Pour des polynômes en x et y, il n'y a plus un unique « terme dominant » naturel. On doit choisir un ordre sur les monômes, et le reste obtenu peut dépendre de l'ordre des divisions. La théorie qui règle ce problème est celle des bases de Gröbner, utilisée par les logiciels de calcul formel.

Coût du calcul

Chaque étape demande une division de coefficients, m + 1 multiplications et autant de soustractions, et il y a au plus n − m + 1 étapes. La division posée coûte donc de l'ordre de (n − m + 1)(m + 1) opérations sur les coefficients. Pour un diviseur de degré 1, Horner atteint le minimum : n multiplications et n additions.

10Les erreurs les plus fréquentes

• Oublier un terme manquant. Pour x³ − 1, il faut poser x³ + 0x² + 0x − 1. Sinon, au moment de soustraire, on retranche un terme en x² d'un terme constant.
• Mal soustraire les termes négatifs. −5x − (−9x) = −14x est faux ; −5x − (−9x) = −5x + 9x = 4x. Mettre le produit entre parenthèses, précédé d'un « − », évite presque toutes ces erreurs.
• Ne multiplier qu'une partie du diviseur. C'est B tout entier qu'on multiplie par le nouveau terme du quotient. Le produit compte toujours autant de colonnes que B a de coefficients.
• Diviser les mauvais termes. On divise toujours les termes dominants (plus haut degré), jamais les termes constants.
• S'arrêter trop tôt ou trop tard. Le seul critère d'arrêt est deg(reste) < deg B. Un reste comme 4x + 6 n'est pas fini si l'on divise par x + 3 ; il l'est si l'on divise par x² + 1.
• Ordonner par puissances croissantes. La division euclidienne se pose par puissances décroissantes. L'ordre croissant correspond à une autre division (chapitre 9), qui donne un autre résultat.
• Se tromper de signe dans le théorème du reste. Le reste de la division par x + 3 est P(−3), pas P(3).
• Oublier de diviser par b avec Horner. Pour diviser par 2x − 1, Horner avec a = 1/2 donne le quotient par x − 1/2 ; il faut encore le diviser par 2. Le reste, lui, ne change pas.
• Croire que des fractions signalent une erreur. Avec un diviseur non unitaire, des fractions apparaissent normalement dans le quotient et le reste.

12Quiz de compréhension

Huit questions pour vérifier que les idées, et pas seulement la technique, sont acquises. La réponse s'affiche, avec son explication, dès que tu choisis une option.

13Fiche mémo