Domaine de définition
Donne le domaine des fonctions suivantes.
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\( f(x) = \ln\!\left(x^2 - 4x + 3\right) \)
Le logarithme n’existe que si son argument est strictement positif. Écris cette condition, puis résous l’inéquation du second degré obtenue : calcule le discriminant, trouve les racines, puis étudie le signe du trinôme.
Si \( \Delta > 0 \), le trinôme \( ax^2 + bx + c \) a le signe de \( a \) à l’extérieur de ses racines et le signe contraire entre elles.
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\( g(x) = \dfrac{x + 1}{\ln x - 1} \)
Il y a deux conditions à vérifier simultanément : \( \ln x \) doit exister, et le dénominateur doit être différent de \( 0 \). Le domaine est l’ensemble des réels qui vérifient les deux.
Pour tout réel \( a \) : \( \ln x = a \iff x = e^{a} \).
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\( h(x) = \ln\!\left(2 - e^{x}\right) \)
Écris la condition d’existence du logarithme, isole \( e^{x} \), puis applique \( \ln \) aux deux membres de l’inégalité.
La fonction \( \ln \) est strictement croissante sur \( \left]0\,;\,+\infty\right[ \) : l’appliquer aux deux membres d’une inégalité entre nombres strictement positifs conserve le sens de l’inégalité. De plus, \( \ln\!\left(e^{x}\right) = x \) pour tout réel \( x \).
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\( k(x) = \ln\!\left(\dfrac{x - 1}{x + 2}\right) \)
Le quotient doit exister et être strictement positif. Cherche les valeurs qui annulent le numérateur et le dénominateur, puis dresse un tableau de signes.
Ne remplace pas \( \ln\frac{A}{B} \) par \( \ln A - \ln B \) pour chercher le domaine : cette égalité n’est valable que si \( A > 0 \) et \( B > 0 \), et tu risquerais de perdre une partie du domaine.
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\( m(x) = \dfrac{1}{e^{2x} - 1} + \ln(x + 3) \)
Le domaine d’une somme est l’intersection des domaines de ses termes. Traite séparément la fraction et le logarithme, puis combine les deux conditions.
La fonction exponentielle est injective : \( e^{u} = e^{v} \iff u = v \). Pense aussi que \( 1 = e^{0} \).