Commence par jouer : la machine à virgule
Voici la vitesse de la lumière dans le vide, en mètres par seconde. Déplace la virgule avec les deux boutons et observe : la valeur du nombre ne change jamais. Seule son écriture change.
Tu viens de découvrir l'idée centrale de tout ce cours : déplacer la virgule d'un rang et compenser par une puissance de 10 laisse le nombre intact. Le reste n'est que méthode et vocabulaire.
Pourquoi les scientifiques écrivent-ils ainsi ?
En sciences, on manipule des nombres qui n'ont aucune chance de tenir dans une phrase normale. La masse d'un électron s'écrit en écriture décimale :
Trois problèmes apparaissent immédiatement :
- On ne peut pas la lire. Personne ne compte trente zéros sans se tromper.
- On ne peut pas la comparer. Deux nombres pareils côte à côte : lequel est le plus grand ?
- On ne sait pas ce qui est mesuré. Ces zéros ne sont pas des résultats de mesure, ce sont des cases vides.
La notation scientifique résout les trois d'un coup : 9,11 × 10−31 kg. On lit trois chiffres utiles, et un exposant qui dit où l'on se situe sur l'échelle du monde.
Regarde l'écriture décimale en bas du cadre quand tu vas vers les extrêmes : elle devient absurde. L'exposant, lui, reste un petit nombre entier facile à comparer. C'est exactement pour cela que cette notation existe.
Les puissances de 10, l'outil de base
Avant la notation scientifique, il faut être parfaitement à l'aise avec 10n.
Définition
Pour un entier n strictement positif :
- 10n = 1 suivi de n zéros. Exemple : 104 = 10 000.
- 10−n = 1 / 10n = 0,0…01 avec n chiffres après la virgule. Exemple : 10−4 = 0,000 1.
- 100 = 1.
L'exposant compte les rangs de déplacement de la virgule, pas les zéros : c'est la formulation qui marche aussi pour les exposants négatifs.
Les trois règles de calcul
Elles sont valables pour tous les exposants entiers, positifs comme négatifs. Ce sont elles qui feront tout le travail au chapitre 7.
| Règle | Écriture | Exemple |
|---|---|---|
| Produit : on additionne | 10a × 10b = 10a+b | 105 × 10−3 = 102 |
| Quotient : on soustrait | 10a ÷ 10b = 10a−b | 104 ÷ 107 = 10−3 |
| Puissance : on multiplie | (10a)b = 10a×b | (103)4 = 1012 |
| Inverse | 1 ÷ 10a = 10−a | 1 ÷ 10−6 = 106 |
Le piège le plus fréquent. Un exposant négatif ne donne jamais un nombre négatif. 10−3 = 0,001, un nombre positif, simplement plus petit que 1. Le signe de l'exposant dit « plus petit que 1 » ou « plus grand que 1 » ; le signe du nombre, lui, est porté par la mantisse.
Les préfixes du Système international
Chaque préfixe d'unité est une puissance de 10 déguisée. Les connaître, c'est convertir sans réfléchir.
| Préfixe | Symbole | Facteur | Exemple |
|---|---|---|---|
| téra | T | 1012 | 1 To = 1012 octets |
| giga | G | 109 | 2,4 GHz |
| méga | M | 106 | 5 MW |
| kilo | k | 103 | 1 km = 103 m |
| hecto | h | 102 | 1 hL = 100 L |
| déca | da | 101 | 1 dag = 10 g |
| déci | d | 10−1 | 1 dL = 0,1 L |
| centi | c | 10−2 | 1 cm = 0,01 m |
| milli | m | 10−3 | 1 mg = 10−3 g |
| micro | µ | 10−6 | 1 µm = 10−6 m |
| nano | n | 10−9 | 1 nm = 10−9 m |
| pico | p | 10−12 | 1 pF |
Depuis 2022, la famille s'étend jusqu'à ronna (1027), quetta (1030), ronto (10−27) et quecto (10−30) : la masse de la Terre vaut environ 6 Rg. Tu ne les rencontreras pas au cours, mais la liste n'est plus celle de tes manuels.
La règle : un seul chiffre avant la virgule
Définition
Un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu'il est de la forme
a × 10n
avec :
- a un nombre décimal tel que 1 ⩽ |a| < 10 : la mantisse (on dit aussi le coefficient) ;
- n un nombre entier relatif : l'exposant (positif, négatif ou nul).
Autrement dit : exactement un chiffre non nul avant la virgule. Ni zéro, ni deux.
Pourquoi les bornes 1 et 10 ?
Pour que l'écriture soit unique. Le nombre 4 700 peut s'écrire 47 × 102, 4,7 × 103, 0,47 × 104… une infinité de fois. La condition 1 ⩽ |a| < 10 n'en garde qu'une seule. Deux nombres écrits en notation scientifique sont donc directement comparables, ce qui serait impossible sinon.
La borne de droite est stricte : 10 × 103 est refusé, car 10 n'est pas inférieur à 10. On écrit 1 × 104.
Les nombres négatifs
La condition porte sur la valeur absolue de la mantisse. −3,2 × 105 est une notation scientifique parfaitement correcte : le signe « moins » appartient à la mantisse, jamais à l'exposant.
Le cas de zéro. Le nombre 0 n'a pas de notation scientifique. On aurait 0 = 0 × 10n pour n'importe quel n : l'unicité serait perdue, et aucune mantisse ne peut valoir au moins 1. On écrit donc simplement 0. C'est la seule exception.
Une cousine : la notation d'ingénieur
Elle impose un exposant multiple de 3, avec 1 ⩽ |a| < 1000, pour coller aux préfixes du SI. Ainsi 47 000 = 4,7 × 104 en notation scientifique, mais 47 × 103 (soit 47 k…) en notation d'ingénieur. Ta calculatrice possède souvent les deux modes : ne les confonds pas.
Passer d'un nombre décimal à la notation scientifique
La méthode en quatre gestes
- Repère le premier chiffre non nul en partant de la gauche. C'est lui qui restera devant la virgule.
- Place la virgule juste après lui : tu obtiens la mantisse.
- Compte de combien de rangs la virgule a bougé, et dans quel sens.
- Compense : virgule vers la gauche → exposant positif ; virgule vers la droite → exposant négatif.
Pourquoi cette compensation ? Déplacer la virgule d'un rang vers la gauche divise le nombre par 10. Pour ne pas changer sa valeur, il faut le remultiplier par 10, c'est-à-dire ajouter 1 à l'exposant. La règle n'est pas une recette : c'est une égalité qu'on maintient vraie.
Exemple 1 — un grand nombre
Distance Terre–Soleil : 149 600 000 000 m. Le premier chiffre non nul est le 1. La virgule, invisible, se trouve tout à droite. Pour l'amener derrière le 1, on la déplace de 11 rangs vers la gauche.
Exemple 2 — un petit nombre
Diamètre d'un globule rouge : 0,000 007 5 m. Le premier chiffre non nul est le 7, en sixième position après la virgule. On déplace la virgule de 6 rangs vers la droite.
Le contrôle qui sauve. Avant d'écrire, demande-toi si le nombre est grand ou petit.
Nombre ⩾ 10 → exposant positif. Nombre entre 1 et 10 → exposant nul. Nombre entre 0 et 1 → exposant négatif. Si ton signe ne colle pas, tu as compté dans le mauvais sens.
Revenir à l'écriture décimale
C'est le trajet inverse, et il suit la même logique.
- Exposant positif n : déplace la virgule de n rangs vers la droite, en ajoutant des zéros si nécessaire. 3,6 × 105 = 360 000.
- Exposant négatif −n : déplace la virgule de n rangs vers la gauche. 3,6 × 10−5 = 0,000 036.
Erreur classique. Pour 3,6 × 10−5, on écrit souvent 0,000 036 avec cinq zéros après la virgule. Non : l'exposant compte les déplacements de la virgule, pas les zéros. Il y a donc quatre zéros, et le chiffre 3 se retrouve en cinquième position. Compte les rangs, jamais les zéros.
Comparer, ranger, estimer
Comparer deux nombres positifs
Quand les deux nombres sont correctement écrits en notation scientifique :
- Compare d'abord les exposants. Le plus grand exposant gagne, quelle que soit la mantisse. 1,1 × 108 écrase 9,9 × 107.
- À exposants égaux seulement, compare les mantisses.
Cette méthode n'est valable que si les deux écritures respectent 1 ⩽ a < 10. Sur 0,5 × 109 contre 8 × 108, comparer les exposants donnerait une réponse fausse : il faut d'abord normaliser.
Nombres négatifs. L'ordre s'inverse. −2 × 105 est plus petit que −9 × 103, car −200 000 < −9 000. Un nombre négatif est d'autant plus petit que sa valeur absolue est grande.
L'ordre de grandeur
L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. Il sert à estimer, à vérifier un résultat, à comparer deux situations sans calculer.
Règle utilisée au cours
Pour a × 10n avec 1 ⩽ a < 10 :
- si a < 5, l'ordre de grandeur est 10n ;
- si a ⩾ 5, l'ordre de grandeur est 10n+1.
Précision honnête. Certains ouvrages placent la frontière non pas à 5 mais à √10 ≈ 3,16, parce que c'est le vrai milieu entre 10n et 10n+1 sur une échelle logarithmique — celle qui correspond aux rapports, pas aux différences. Les deux conventions existent ; retiens celle de ton professeur, mais sache que la seconde est la plus défendable mathématiquement.
Calculer en notation scientifique
Tous les calculs reposent sur une seule idée : séparer les mantisses des puissances de 10, traiter chaque paquet à part, puis remettre le résultat en forme.
Multiplication
(a × 10m) × (b × 10p) = (a × b) × 10m+p
Exemple : (3 × 105) × (2,5 × 10−8) = 7,5 × 10−3.
Division
(a × 10m) ÷ (b × 10p) = (a ÷ b) × 10m−p
Exemple : (6 × 104) ÷ (2 × 109) = 3 × 10−5.
Puissance
(a × 10m)k = ak × 10m×k. L'exposant se distribue sur les deux facteurs : oublier d'élever la mantisse est l'erreur numéro un.
Exemple : (2 × 103)4 = 16 × 1012 = 1,6 × 1013.
La renormalisation, l'étape qu'on oublie
Le produit de deux mantisses peut sortir de l'intervalle autorisé. Il faut alors ramener la mantisse entre 1 et 10 en corrigeant l'exposant :
- mantisse ⩾ 10 : on déplace la virgule d'un rang à gauche et on ajoute 1 à l'exposant. 45 × 106 = 4,5 × 107.
- mantisse < 1 : on déplace la virgule d'un rang à droite et on retire 1 à l'exposant. 0,4 × 106 = 4 × 105.
Addition et soustraction : le cas particulier
Ici, les exposants ne s'additionnent pas. On ne peut ajouter que des grandeurs de même rang, exactement comme on ne peut pas additionner directement des centaines et des dizaines sans les aligner.
- Ramène les deux nombres au même exposant (choisis en général le plus grand).
- Additionne ou soustrais les mantisses, l'exposant reste inchangé.
- Renormalise si nécessaire.
Exemple : 3,5 × 106 + 4 × 105 = 3,5 × 106 + 0,4 × 106 = 3,9 × 106.
Chiffres significatifs, arrondis et calculatrice
En physique et en chimie, un nombre n'est pas seulement une valeur : c'est aussi une précision. La notation scientifique rend cette précision lisible.
Définition
Les chiffres significatifs d'un nombre sont les chiffres réellement porteurs d'information sur la mesure.
- Les zéros en tête ne sont jamais significatifs : ils ne servent qu'à placer la virgule. 0,004 5 a deux chiffres significatifs.
- Les zéros entre deux chiffres non nuls le sont toujours. 1,03 en a trois.
- Les zéros en fin, après la virgule, le sont aussi : ils affirment que la mesure va jusque-là. 2,50 en a trois.
En notation scientifique, la lecture est immédiate : tous les chiffres de la mantisse sont significatifs. C'est même son principal avantage en sciences expérimentales.
Pourquoi cela compte. L'écriture 1500 m est ambiguë : deux, trois ou quatre chiffres significatifs ? Impossible à dire. En notation scientifique, l'ambiguïté disparaît : 1,5 × 103 annonce deux chiffres, 1,500 × 103 en annonce quatre. Les deux valent 1500, mais ne disent pas la même chose sur l'instrument de mesure.
Arrondir sans se tromper
Pour arrondir une mantisse, on regarde le premier chiffre supprimé : s'il vaut 5 ou plus, on augmente de 1 le dernier chiffre conservé ; sinon on le laisse.
Un cas mérite attention : arrondir 9,97 × 105 à deux chiffres significatifs donne 10 × 105, ce qui n'est plus une notation scientifique. On renormalise : 1,0 × 106. L'arrondi a fait changer l'exposant.
Règles de précision d'un résultat
- Produit ou quotient : le résultat garde le nombre de chiffres significatifs du facteur le moins précis.
- Somme ou différence : le résultat s'aligne sur le terme ayant le moins de décimales, une fois les deux mis au même exposant.
Écrire tous les chiffres affichés par la calculatrice est donc une faute : ils prétendent une précision que la mesure n'a pas.
Ta calculatrice
La touche s'appelle EXP, EE ou ×10ˣ selon les modèles. Elle signifie déjà « fois dix puissance ».
Le piège de la touche EXP. Pour saisir 5 × 103, on tape 5 EXP 3. Taper 5 × 10 EXP 3 revient à calculer 5 × 10 × 103 = 50 000 : le résultat est dix fois trop grand.
Autre piège : l'affichage 2.5E-04 ou 2.5-04 n'est pas une notation scientifique écrite, c'est un affichage. Sur ta copie, tu dois écrire 2,5 × 10−4.
Enfin, une division par un produit exige des parenthèses : 6E5 ÷ (2 × 3) et 6E5 ÷ 2 × 3 ne donnent pas le même résultat.
L'atelier d'entraînement
Des exercices tirés au hasard, à l'infini. Choisis un niveau, puis enchaîne. En mode examen, tu réponds à dix questions d'affilée et tu reçois un bilan par type d'exercice.
Tout tient en dix lignes
| Situation | Ce que tu fais |
|---|---|
| Forme attendue | a × 10n, avec 1 ⩽ |a| < 10 et n entier |
| Grand nombre | virgule vers la gauche, exposant positif |
| Nombre entre 0 et 1 | virgule vers la droite, exposant négatif |
| Le nombre 0 | pas de notation scientifique, on écrit 0 |
| Multiplier | mantisses multipliées, exposants additionnés |
| Diviser | mantisses divisées, exposants soustraits |
| Élever à la puissance k | mantisse et exposant subissent tous deux la puissance |
| Additionner | même exposant d'abord, puis mantisses |
| Mantisse sortie de [1 ; 10[ | renormaliser en corrigeant l'exposant |
| Ordre de grandeur | a < 5 → 10n ; a ⩾ 5 → 10n+1 |