$a$, $b$, $c$ sont des réels ; $a$ est non nul.
C'est le signe de $\Delta$ qui décide de tout.
| Discriminant | Nombre de solutions | Valeur(s) |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$ | Deux solutions distinctes | $x_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\quad ; \quad x_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ |
| $\Delta = 0$ | Une solution double | $x_{0} = \dfrac{-b}{2a}$ |
| $\Delta < 0$ | Aucune solution réelle | — |
| Discriminant | Factorisation |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | $f(x) = a\,(x - x_{1})(x - x_{2})$ |
| $\Delta = 0$ | $f(x) = a\,(x - x_{0})^{2}$ |
| $\Delta < 0$ | Pas de factorisation dans $\mathbb{R}$ |
Si l'on cherche deux nombres connaissant leur somme $S$ et leur produit $P$,
ces nombres sont les solutions de l'équation :
| Discriminant | Signe de $f(x)$ |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | signe de $a$ à l'extérieur de $[x_1\,;x_2]$, signe de $-a$ entre les racines |
| $\Delta = 0$ | toujours du signe de $a$ (et nul en $x_0$) |
| $\Delta < 0$ | toujours du signe de $a$ (ne s'annule jamais) |