Les coniques

A. Définition monofocale (foyer–directrice)

Données : un point \(F\) (foyer), une droite \(\mathcal{D}\) ne passant pas par \(F\) (directrice), un réel \(e\gt0\) (excentricité). La conique est

\[ \mathcal{C}=\bigl\{M \;:\; MF = e\cdot d(M,\mathcal{D})\bigr\}. \]

C'est la seule définition qui couvre les trois types d'un coup. Elle échoue pour le cercle, qui correspond au cas limite \(e\to 0\) avec directrice rejetée à l'infini.

Mise en équation

Avec \(F=(0,0)\), \(\mathcal{D}:x=d\) et \(H\) le projeté de \(M\) sur \(\mathcal{D}\) :

\[ x^2+y^2=e^2 (x-d)^2 \] \[ (1-e^2)x^2+y^2+2e^2 d\,x-e^2d^2=0. \]

Le coefficient \(1-e^2\) porte toute la classification : positif (ellipse), nul (parabole), négatif (hyperbole).

B. Définition bifocale

Données : deux points distincts \(F,F'\) avec \(FF'=2c\gt0\), et un réel \(a\gt0\).

Ellipse — \(a\gt c\)

\(\mathcal{E}=\{M : MF+MF'=2a\}\) (somme constante).

Hyperbole — \(a\lt c\)

\(\mathcal{H}=\{M : |MF-MF'|=2a\}\) (différence constante en valeur absolue).

Cas limites : \(a=c\) donne le segment \([FF']\) pour la somme, et les deux demi-droites extérieures pour la différence ; \(a\lt c\) rend la condition de somme impossible (inégalité triangulaire).

Construction du jardinier

Une ficelle de longueur \(2a\) tendue entre deux piquets \(F,F'\) trace exactement l'ellipse : c'est la définition bifocale rendue mécanique.

Rayons vecteurs

Pour \(M(x,y)\in\mathcal{E}\), avec \(F(c,0)\) et \(F'(-c,0)\) :

\[ MF=a-ex,\qquad MF'=a+ex . \]

Ces deux quantités sont positives car \(|x|\le a\) et \(e\lt1\). Leur somme redonne \(MF+MF'=2a\) : la définition bifocale.

Extrema : \(MF_{\min}=a-c\) (péricentre, en \((a,0)\)), \(MF_{\max}=a+c\) (apocentre).

En anomalie excentrique

\[ r=a(1-e\cos E) \quad \text{pour } M=(a\cos E,\;b\sin E). \]

Ellipse translatée et forme générale

Centre \(\Omega(x_0,y_0)\), axes parallèles aux axes de coordonnées :

\[ \frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1. \]

Si le grand axe est vertical, échanger les rôles : \(a\) sous \((y-y_0)^2\), foyers en \((x_0,y_0\pm c)\).

Affinité orthogonale

L'ellipse est l'image du cercle principal \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\) par l'affinité \((x,y)\mapsto\left(x,\tfrac{b}{a}y\right)\). Toutes les propriétés affines du cercle (milieux, rapports, tangence, aires multipliées par \(b/a\)) se transportent ainsi — méthode de démonstration extrêmement rentable.

Formes usuelles

Parabole d'axe vertical (forme « fonction »)

\[ y=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma,\qquad \alpha\neq0 \]

• Sommet : \(S\left(-\dfrac{\beta}{2\alpha},\;-\dfrac{\beta^{2}-4\alpha\gamma}{4\alpha}\right)\)
• Paramètre : \(p=\dfrac{1}{2|\alpha|}\)
• Foyer : \(\left(x_{S},\,y_{S}+\dfrac{1}{4\alpha}\right)\) ; directrice : \(y=y_{S}-\dfrac{1}{4\alpha}\)
• Concavité tournée vers le haut si \(\alpha\gt0\)

Forme canonique translatée

\[ (y-y_{0})^{2}=2p\,(x-x_{0}) \]

Sommet \((x_0,y_0)\), foyer \(\left(x_{0}+\tfrac{p}{2},y_{0}\right)\), directrice \(x=x_{0}-\tfrac{p}{2}\).

Propriétés spécifiques

• Sous-normale constante : en tout point, la projection de la normale sur l'axe a pour longueur \(p\). Propriété caractéristique de la parabole.
• Sous-tangente : de longueur \(2x_M\) — la tangente en \(M\) coupe l'axe en \((-x_M,0)\), symétrique du pied de \(M\).
• Corde focale de longueur \(\ell\) : si elle fait l'angle \(\theta\) avec l'axe, \(\ell=\dfrac{2p}{\sin^{2}\theta}\) ; minimum \(2p\) pour le latus rectum.
• Foyer et corde focale : \(\dfrac{1}{r_{1}}+\dfrac{1}{r_{2}}=\dfrac{2}{p}\) pour les deux rayons d'une même corde focale (harmonique).
• Tangentes perpendiculaires : deux tangentes orthogonales se coupent toujours sur la directrice, et la corde de contact passe par le foyer.

Asymptotes

La courbe s'approche des droites \(y=\pm\frac{b}{a}x\) sans jamais les atteindre. Écart vertical asymptotique sur la branche \(x\gt0\) :

\[ \frac{b}{a}x-y=\frac{b}{a}\bigl(x-\sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr)\underset{x\to+\infty}{\sim}\frac{ab}{2x}\longrightarrow 0. \]

L'équation \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda\) donne l'hyperbole pour \(\lambda\gt0\), l'hyperbole conjuguée pour \(\lambda\lt0\), et la paire d'asymptotes pour \(\lambda=0\) : le couple d'asymptotes est la conique dégénérée de la même famille.

Propriétés liées aux asymptotes

• Le segment de tangente compris entre les deux asymptotes est coupé en son milieu par le point de contact.
• Le triangle formé par une tangente et les deux asymptotes a une aire constante égale à \(ab\).
• Le produit des distances d'un point de la courbe aux deux asymptotes est constant : \(\dfrac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\).
• Une sécante coupe la courbe et les asymptotes en des points tels que les milieux des deux cordes coïncident.

Hyperbole équilatère et repère asymptotique

Équilatère : \(a=b\), donc asymptotes perpendiculaires et \(e=\sqrt{2}\) (valeur remarquable, analogue de \(e=0\) pour le cercle).

\[ x^{2}-y^{2}=a^{2}\quad\xrightarrow{\ \text{rotation de } -\pi/4\ }\quad XY=\frac{a^{2}}{2}. \]

Réciproquement, \(y=\dfrac{k}{x}\) est une hyperbole équilatère de sommets \((\pm\sqrt{k},\pm\sqrt{k})\) pour \(k\gt0\), d'axes les bissectrices, avec \(a=b=\sqrt{2k}\) et \(c=2\sqrt{k}\).

Homographies

Toute fonction \(x\mapsto\dfrac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}\) avec \(\alpha\delta-\beta\gamma\neq0\) et \(\gamma\neq0\) a pour graphe une hyperbole équilatère d'asymptotes \(x=-\delta/\gamma\) et \(y=\alpha/\gamma\).

Hyperbole conjuguée

\[ \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1 \]

Mêmes asymptotes, axes échangés, excentricité \(e'=\sqrt{1+a^{2}/b^{2}}\) avec la relation \(\dfrac{1}{e^{2}}+\dfrac{1}{e'^{2}}=1\).

Ellipse

Trigonométrique (anomalie excentrique)

\[ \begin{cases}x=a\cos t\\ y=b\sin t\end{cases}\qquad t\in[0,2\pi[ \]

\(t\) n'est pas l'angle polaire du point : c'est l'angle du point correspondant sur le cercle principal (l'ellipse est l'image du cercle par l'affinité de rapport \(b/a\)). Lien avec l'angle polaire \(\varphi\) mesuré depuis le centre : \(\tan\varphi=\dfrac{b}{a}\tan t\).

Rationnel

\[ x=a\,\frac{1-u^{2}}{1+u^{2}},\qquad y=b\,\frac{2u}{1+u^{2}},\qquad u=\tan\frac{t}{2} \]

Manque le point \((-a,0)\) (limite \(u\to\infty\)). Utile pour les primitives de fractions rationnelles et les points rationnels.

Vecteurs cinématiques

\[ \vec{v}=(-a\sin t,\;b\cos t),\qquad \|\vec{v}\|=\sqrt{a^{2}\sin^{2}t+b^{2}\cos^{2}t}=a\sqrt{1-e^{2}\cos^{2}t} \]

Hyperbole

Hyperbolique

\[ \begin{cases}x=\varepsilon\,a\,\mathrm{ch}\,t\\ y=b\,\mathrm{sh}\,t\end{cases}\qquad t\in\R,\ \varepsilon=\pm1 \]

\(\varepsilon=+1\) donne la branche droite, \(\varepsilon=-1\) la gauche : un paramétrage par branche (contrairement à l'ellipse, connexe). Identité utilisée : \(\mathrm{ch}^{2}t-\mathrm{sh}^{2}t=1\).

Trigonométrique

\[ x=\frac{a}{\cos t},\quad y=b\tan t,\qquad t\in\left]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right[\ \cup\ \left]\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right[ \]

Repère asymptotique

\[ X=\frac{a}{2}\,\mathrm{e}^{\,t}\!\cdot\!\sqrt{2},\quad\text{ou plus simplement } XY=\text{cte} \]

Dans le repère porté par les asymptotes, l'hyperbole s'écrit \(XY=k\) : paramétrage \((\lambda,k/\lambda)\), \(\lambda\in\R^{*}\).

Aire du secteur

Le paramètre \(t\) mesure une aire, non un angle : le secteur \(OSM\) a pour aire \(\dfrac{ab}{2}t\) (analogue exact de l'ellipse).

Parabole

Polynomial

\[ \begin{cases}x=\dfrac{t^{2}}{2p}\\ y=t\end{cases}\qquad t\in\R \]

Le seul paramétrage polynomial et bijectif des trois coniques : c'est une courbe rationnelle de degré 2, ce qui explique son rôle privilégié en calcul (courbes de Bézier quadratiques).

Par le coefficient directeur

En posant \(m=\dfrac{p}{t}\) = pente de la tangente au point de paramètre \(t\) :

\[ M=\left(\frac{p}{2m^{2}},\;\frac{p}{m}\right) \]

Chaque pente non nulle est atteinte exactement une fois : la parabole est le graphe de la dérivée, bijectif.

Paramétrage unifié par l'anomalie vraie

Depuis le foyer, avec l'anomalie vraie \(\nu\) (angle polaire) :

\[ M=F+\frac{p}{1+e\cos\nu}\bigl(\cos\nu,\;\sin\nu\bigr) \]

Valable pour les trois coniques sans distinction. Relation avec l'anomalie excentrique \(E\) (ellipse) :

\[ \tan\frac{\nu}{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\;\tan\frac{E}{2} \]

et l'équation de Kepler relie \(E\) au temps : \(M_{\text{a}}=E-e\sin E\) (voir § 16).

Ellipse

Tangente en \(M_{0}(x_{0},y_{0})\)

\[ \frac{xx_{0}}{a^{2}}+\frac{yy_{0}}{b^{2}}=1 \]

Tangente au point de paramètre \(t\)

\[ \frac{x\cos t}{a}+\frac{y\sin t}{b}=1 \]

Normale en \(M_{0}\)

\[ \frac{a^{2}x}{x_{0}}-\frac{b^{2}y}{y_{0}}=a^{2}-b^{2}=c^{2}\qquad (x_{0}y_{0}\neq0) \]

Condition de tangence de \(y=mx+q\)

\[ q^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2} \]

Les deux tangentes de pente \(m\) sont \(y=mx\pm\sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}\) (parallèles, symétriques par rapport au centre).

Hyperbole

Tangente en \(M_{0}\)

\[ \frac{xx_{0}}{a^{2}}-\frac{yy_{0}}{b^{2}}=1 \]

Normale en \(M_{0}\)

\[ \frac{a^{2}x}{x_{0}}+\frac{b^{2}y}{y_{0}}=a^{2}+b^{2}=c^{2} \]

Condition de tangence de \(y=mx+q\)

\[ q^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}\qquad\text{avec } |m|\gt\frac{b}{a} \]

La contrainte sur \(m\) est structurelle : aucune droite de pente inférieure à celle des asymptotes ne peut être tangente.

Sur \(XY=k\)

\[ \text{tangente en }(x_{0},y_{0}) : \; xy_{0}+x_{0}y=2k \]

Parabole

Tangente en \(M_{0}\)

\[ yy_{0}=p\,(x+x_{0}) \]

Normale en \(M_{0}\)

\[ y-y_{0}=-\frac{y_{0}}{p}(x-x_{0}) \]

Condition de tangence de \(y=mx+q\)

\[ q=\frac{p}{2m}\qquad (m\neq0) \]

Une seule tangente par pente non nulle : l'application « pente \(\mapsto\) point de contact » est bijective sur \(\R^*\).

Éléments métriques

• Sous-tangente : \(2x_{0}\)
• Sous-normale : \(p\) (constante)
• Tangente au sommet : l'axe \((Oy)\)

Nombre de tangentes issues d'un point

• \(M_{0}\) intérieur (au sens de la région contenant le foyer) : aucune tangente réelle.
• \(M_{0}\) sur la conique : une tangente.
• \(M_{0}\) extérieur : deux tangentes, dont la corde de contact est la polaire de \(M_{0}\).

Critère pratique pour l'ellipse : \(M_0\) est intérieur si \(\dfrac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\lt1\).

Tangentes issues d'un point extérieur \((x_1,y_1)\)

Écrire \(y=m(x-x_{1})+y_{1}\), c.-à-d. \(q=y_{1}-mx_{1}\), et injecter dans la condition de tangence : on obtient une équation du second degré en \(m\) dont le discriminant est positif exactement pour les points extérieurs.

Propriété de réflexion

• Ellipse : la normale en \(M\) est la bissectrice intérieure de l'angle \(\widehat{FMF'}\). Tout rayon issu de \(F\) se réfléchit sur la courbe en passant par \(F'\). (Chambres à écho, lithotripteurs.)
• Hyperbole : la tangente en \(M\) est la bissectrice intérieure de \(\widehat{FMF'}\). Un rayon dirigé vers \(F\) se réfléchit en semblant venir de \(F'\). (Télescope Cassegrain.)
• Parabole : la tangente fait des angles égaux avec \(FM\) et avec la direction de l'axe. Tout rayon issu du foyer repart parallèlement à l'axe, et réciproquement. (Paraboles, phares, fours solaires.)

Cercle principal (podaire focale)

Lieu des projetés orthogonaux d'un foyer sur les tangentes :

\[ x^{2}+y^{2}=a^{2}\quad(\text{ellipse et hyperbole}) \]

Pour la parabole, ce lieu dégénère en la tangente au sommet. C'est la traduction du fait que le cercle principal a un rayon \(a\to\infty\).

Produit des distances focales à une tangente

\[ d(F,T)\cdot d(F',T)=b^{2} \]

Constante, pour l'ellipse comme pour l'hyperbole. Se démontre en une ligne avec la condition de tangence \(q^{2}=a^{2}m^{2}\pm b^{2}\).

Cercle directeur

Cercle de centre \(F'\) et de rayon \(2a\). Propriétés :

• Le symétrique de \(F\) par rapport à une tangente quelconque appartient au cercle directeur.
• La conique est le lieu des centres des cercles passant par \(F\) et tangents au cercle directeur — définition « par tangence » très utile en construction.
• Pour la parabole (\(a\to\infty\)), le cercle directeur devient la directrice : le symétrique du foyer par rapport à une tangente décrit la directrice.

Cercle orthoptique (cercle de Monge)

Lieu des points d'où l'on voit la conique sous un angle droit, c'est-à-dire d'où les deux tangentes sont perpendiculaires :

\[ \text{Ellipse}:\;x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2} \] \[ \text{Hyperbole}:\;x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}\quad (\text{vide si }a\le b) \] \[ \text{Parabole}:\;\text{la directrice} \]

Démonstration : deux droites \(y=m_ix+q_i\) tangentes avec \(m_1m_2=-1\) ; en éliminant via \(q^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}\), le point d'intersection vérifie \(x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}\).

Ellipse

\[ R(t)=\frac{\left(a^{2}\sin^{2}t+b^{2}\cos^{2}t\right)^{3/2}}{ab} \]

En coordonnées cartésiennes et en rayons focaux :

\[ R=a^{2}b^{2}\left(\frac{x^{2}}{a^{4}}+\frac{y^{2}}{b^{4}}\right)^{3/2}=\frac{(MF\cdot MF')^{3/2}}{ab} \]

Aux sommets

\[ R(\pm a,0)=\frac{b^{2}}{a}=p\ (\text{minimum}),\qquad R(0,\pm b)=\frac{a^{2}}{b}\ (\text{maximum}) \]

Développée : une astroïde de Lamé

\[ (ax)^{2/3}+(by)^{2/3}=(a^{2}-b^{2})^{2/3}=c^{4/3} \]

Paramétrage : \(\left(\dfrac{c^{2}}{a}\cos^{3}t,\;-\dfrac{c^{2}}{b}\sin^{3}t\right)\). Ses quatre points de rebroussement correspondent aux quatre sommets de l'ellipse (théorème des quatre sommets).

Hyperbole

\[ R(t)=\frac{\left(a^{2}\,\mathrm{sh}^{2}t+b^{2}\,\mathrm{ch}^{2}t\right)^{3/2}}{ab} \] \[ R=a^{2}b^{2}\left(\frac{x^{2}}{a^{4}}+\frac{y^{2}}{b^{4}}\right)^{3/2}=\frac{(MF\cdot MF')^{3/2}}{ab} \]

Au sommet : \(R(\pm a,0)=\dfrac{b^{2}}{a}=p\), qui est cette fois le minimum ; \(R\to+\infty\) le long des branches (la courbe s'aplatit sur ses asymptotes).

Développée

\[ (ax)^{2/3}-(by)^{2/3}=(a^{2}+b^{2})^{2/3}=c^{4/3} \]

Parabole

\[ R(x)=\frac{\left(p^{2}+2px\right)^{3/2}}{p^{2}}=\frac{2\sqrt2\,(MF)^{3/2}}{\sqrt p} \]

Au sommet : \(R(0)=p\). Le rayon de courbure croît comme \(x^{3/2}\), donc sans borne.

Développée : parabole semi-cubique de Neile

\[ 27\,p\,y^{2}=8\,(x-p)^{3} \]

Paramétrage : \(\left(p+\dfrac{3t^{2}}{2p},\;-\dfrac{t^{3}}{p^{2}}\right)\) pour le point courant \(\left(\tfrac{t^{2}}{2p},t\right)\). Le point de rebroussement est le centre de courbure du sommet, en \((p,0)\).

Formules générales de rappel

Courbe paramétrée

\[ R=\frac{\left(x'^{2}+y'^{2}\right)^{3/2}}{\left|x'y''-y'x''\right|} \]

Graphe \(y=f(x)\)

\[ R=\frac{\left(1+y'^{2}\right)^{3/2}}{|y''|} \]

Centre de courbure

\[ \Omega=M+R\,\vec{n},\qquad \vec{n}=\frac{1}{\|\vec v\|}\bigl(-y',\,x'\bigr)\ \text{orienté vers la concavité} \]

La développée est le lieu des centres de courbure ; c'est aussi l'enveloppe des normales à la courbe.

Ellipse — aires

\[ \mathcal{A}=\pi ab \]

Immédiat par l'affinité de rapport \(b/a\) appliquée au disque \(\pi a^{2}\).

Secteur depuis le centre

\[ \mathcal{A}(t_{1},t_{2})=\frac{ab}{2}\,(t_{2}-t_{1})\qquad (t=\text{anomalie excentrique}) \]

Segment à droite de \(x=x_{0}\)

\[ \mathcal{A}=ab\left[\arccos\frac{x_{0}}{a}-\frac{x_{0}}{a}\sqrt{1-\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}}\right] \]

Secteur depuis le foyer (aire balayée)

\[ \mathcal{A}=\frac{ab}{2}\bigl(E-e\sin E\bigr)\quad\text{entre le péricentre et l'anomalie } E \]

C'est exactement la loi des aires de Kepler : l'aire balayée est proportionnelle à l'anomalie moyenne, donc au temps.

Ellipse — périmètre

\[ P=4a\,E(e)=4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\theta}\;\d\theta \]

\(E\) est l'intégrale elliptique complète de seconde espèce : elle ne s'exprime pas par fonctions élémentaires (résultat dû à Liouville).

Développement en série

\[ P=2\pi a\left[1-\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)^{2}\frac{e^{2n}}{2n-1}\right]=2\pi a\left[1-\frac{e^{2}}{4}-\frac{3e^{4}}{64}-\cdots\right] \]

Approximations de Ramanujan (1914)

\[ P_{1}\approx\pi\Bigl[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\Bigr] \] \[ P_{2}\approx\pi(a+b)\left[1+\frac{3h}{10+\sqrt{4-3h}}\right],\qquad h=\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{2} \]

\(P_{2}\) est remarquablement précise : erreur relative inférieure à \(1{,}5\times10^{-8}\) pour \(e\le0{,}9\), et encore \(\lt 0{,}04\,\%\) pour \(e\to1\).

Parabole

Quadrature d'Archimède

L'aire du segment parabolique délimité par une corde vaut 4/3 de l'aire du triangle inscrit ayant même corde pour base et pour sommet le point où la tangente est parallèle à la corde ; de manière équivalente, 2/3 du parallélogramme circonscrit.

\[ \mathcal{A}=\frac{4}{3}\,\mathcal{A}_{\text{triangle}}=\frac{2}{3}\,\mathcal{A}_{\text{parallélogramme}} \]

Cas particulier utile pour \(y=\alpha x^2+\beta x+\gamma\) coupée par une droite en \(x_{1}\lt x_{2}\) :

\[ \mathcal{A}=\frac{|\alpha|\,(x_{2}-x_{1})^{3}}{6} \]

Longueur d'arc

Pour \(y^{2}=2px\), de \(0\) à l'ordonnée \(y\) :

\[ L=\frac{y}{2}\sqrt{1+\frac{y^{2}}{p^{2}}}+\frac{p}{2}\,\mathrm{argsh}\frac{y}{p} \]

La parabole est ainsi l'une des rares courbes transcendantes rectifiables élémentairement.

Hyperbole

Secteur hyperbolique

\[ \mathcal{A}=\frac{ab}{2}\,t\quad\text{pour }M=(a\,\mathrm{ch}\,t,\,b\,\mathrm{sh}\,t) \]

Réciproquement, \(t=\dfrac{2\mathcal{A}}{ab}\) : c'est la définition géométrique des fonctions hyperboliques, exact pendant de l'angle circulaire.

Aire sous \(xy=k\)

\[ \int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{k}{x}\,\d x=k\ln\frac{x_{2}}{x_{1}} \]

Origine historique du logarithme (Grégoire de Saint-Vincent, 1647) : l'aire sous l'hyperbole transforme les produits en sommes.

Aire entre la courbe et une asymptote

Elle diverge logarithmiquement ; en revanche l'aire du triangle « tangente + deux asymptotes » est constante, égale à \(ab\).

Solides de révolution

Ellipsoïdes (rotation de l'ellipse)

\[ V_{\text{allongé}}=\frac{4}{3}\pi ab^{2}\ \ (\text{autour de }2a),\qquad V_{\text{aplati}}=\frac{4}{3}\pi a^{2}b\ \ (\text{autour de }2b) \]

Surfaces latérales, avec \(e=c/a\) :

\[ S_{\text{allongé}}=2\pi b^{2}+\frac{2\pi ab}{e}\arcsin e \] \[ S_{\text{aplati}}=2\pi a^{2}+\frac{\pi b^{2}}{e}\ln\frac{1+e}{1-e} \]

Paraboloïde de révolution

Rotation de \(y^{2}=2px\) autour de \((Ox)\), tronqué en \(x=h\) :

\[ V=\pi p h^{2},\qquad S=\frac{2\pi\sqrt{p}}{3}\left[(p+2h)^{3/2}-p^{3/2}\right]=\frac{2\pi p^{2}}{3}\left[\left(1+\frac{2h}{p}\right)^{3/2}-1\right] \]

Le volume du paraboloïde vaut exactement la moitié du cylindre circonscrit — résultat d'Archimède, et raison pour laquelle un liquide en rotation forme une surface parabolique de volume calculable.

Centre (cas \(\delta\neq0\))

Le centre annule les deux dérivées partielles ; il est solution du système linéaire

\[ \begin{cases}a_{11}x+a_{12}y+a_{13}=0\\ a_{12}x+a_{22}y+a_{23}=0\end{cases} \] \[ x_{0}=\frac{a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}}{\delta},\qquad y_{0}=\frac{a_{12}a_{13}-a_{11}a_{23}}{\delta} \]

Après translation en \(\Omega(x_{0},y_{0})\), les termes du premier degré disparaissent et le terme constant devient \(\dfrac{\Delta}{\delta}\).

Rotation éliminant le terme croisé

\[ \tan 2\theta=\frac{B}{A-C}\quad\Longleftrightarrow\quad \cot 2\theta=\frac{A-C}{B} \]

Si \(A=C\), prendre \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\). Les axes de la conique portent les vecteurs propres de \(A_{q}\).

Équations réduites

Soient \(\lambda_{1},\lambda_{2}\) les valeurs propres de \(A_{q}\) :

\[ \lambda_{1,2}=\frac{S\pm\sqrt{(A-C)^{2}+B^{2}}}{2},\qquad \lambda_{1}\lambda_{2}=\delta,\ \lambda_{1}+\lambda_{2}=S \]

Conique à centre (\(\delta\neq0\))

\[ \lambda_{1}X^{2}+\lambda_{2}Y^{2}+\frac{\Delta}{\delta}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{X^{2}}{\;-\Delta/(\delta\lambda_{1})\;}+\frac{Y^{2}}{\;-\Delta/(\delta\lambda_{2})\;}=1 \]

Les demi-axes sont les racines carrées des dénominateurs positifs.

Parabole (\(\delta=0,\ \Delta\neq0\))

\[ Y^{2}=2p\,X\qquad\text{avec}\qquad p=\sqrt{-\frac{\Delta}{S^{3}}} \]

(La quantité sous la racine est toujours positive dans ce cas.)

Excentricité

Une fois \(a\) et \(b\) lus sur l'équation réduite : \(e=\sqrt{1-b^{2}/a^{2}}\) (ellipse) ou \(e=\sqrt{1+b^{2}/a^{2}}\) (hyperbole).

Relations énergétiques

\[ \varepsilon=-\frac{\mu}{2a}\quad(\text{ellipse}),\qquad \varepsilon=+\frac{\mu}{2a}\quad(\text{hyperbole}) \]

Équation de la force vive (vis-viva)

\[ v^{2}=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right) \]

Cas particuliers : orbite circulaire \(v=\sqrt{\mu/r}\) ; vitesse de libération \(v_{\text{lib}}=\sqrt{2\mu/r}\) (cas \(a\to\infty\), parabole), soit \(\sqrt2\) fois la vitesse circulaire.

Vitesses aux apsides

\[ v_{\text{péri}}=\sqrt{\frac{\mu}{a}\cdot\frac{1+e}{1-e}},\qquad v_{\text{apo}}=\sqrt{\frac{\mu}{a}\cdot\frac{1-e}{1+e}} \]

Avec la conservation \(r_{\text{p}}v_{\text{p}}=r_{\text{a}}v_{\text{a}}\) (moment cinétique).

Les trois lois de Kepler

I — Loi des orbites

Trajectoire elliptique dont le Soleil occupe un foyer.

II — Loi des aires

\(\dfrac{\d\mathcal{A}}{\d t}=\dfrac{h}{2}=\text{cte}\) : conséquence directe de la conservation du moment cinétique, valable pour toute force centrale.

III — Loi des périodes

\(\dfrac{T^{2}}{a^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{\mu}\), soit \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{a^{3}}{\mu}}\).

Équation de Kepler

\[ M_{\text{a}}=E-e\sin E,\qquad M_{\text{a}}=\frac{2\pi}{T}(t-t_{p}) \]

Transcendante en \(E\) : elle se résout numériquement (Newton), ce qui a motivé des siècles d'analyse. Puis \(r=a(1-e\cos E)\) et \(\tan\dfrac{\nu}{2}=\sqrt{\dfrac{1+e}{1-e}}\tan\dfrac{E}{2}\).

Point de vue projectif

Dans \(\mathbb{P}^{2}(\R)\), une conique est le lieu \({}^{t}XMX=0\) avec \(M\) symétrique non nulle. La distinction ellipse / parabole / hyperbole dépend uniquement de la position relative de la courbe et de la droite de l'infini \(\mathcal{D}_{\infty}\) :

• Ellipse : aucun point réel sur \(\mathcal{D}_{\infty}\) ;
• Parabole : tangente à \(\mathcal{D}_{\infty}\) (un point double) ;
• Hyperbole : deux points réels sur \(\mathcal{D}_{\infty}\) — les directions asymptotiques.

Toutes les coniques propres sont projectivement équivalentes : une homographie transforme n'importe laquelle en cercle. Les propriétés projectives (alignement, tangence, birapport) se transportent ; les propriétés métriques (foyers, excentricité, angles) non.

Théorèmes classiques

Cinq points

Par cinq points en position générale (jamais quatre alignés) passe une conique et une seule. Son équation est donnée par un déterminant \(6\times6\) annulé.

Pascal (1640)

Pour un hexagone inscrit dans une conique, les trois points d'intersection des côtés opposés sont alignés (« droite de Pascal »).

Brianchon

Dual du précédent : pour un hexagone circonscrit, les trois diagonales principales sont concourantes.

Faisceau de coniques

Si \(q_{1}=0\) et \(q_{2}=0\) sont deux coniques, \(\lambda q_{1}+\mu q_{2}=0\) décrit toutes les coniques passant par leurs quatre points communs.

Poncelet

Si un polygone est inscrit dans une conique et circonscrit à une autre, il en existe une infinité (« porisme de fermeture »).