Trois points suffisent
à contenir presque tout.

Deux angles opposés par le sommet sont égaux. Deux droites parallèles coupées par une sécante déterminent des angles alternes-internes et correspondants égaux — et réciproquement.

Somme des angles extérieurs d'un polygone convexe : \(360^\circ\), quel que soit \(n\).

\(M\in(AB)\), \(N\in(AC)\). Réciproque : si \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\) et que les points sont dans le même ordre sur les demi-droites, alors \((MN)\parallel(BC)\). La condition d'ordre est indispensable.

L'équivalence contient le théorème et sa réciproque. Généralisation au triangle quelconque : loi des cosinus (§02).

Critères de similitude : deux angles égaux (AA) ; deux côtés proportionnels et l'angle compris égal (SAS) ; trois côtés proportionnels (SSS).

Vecteur directeur \(\vec u(-b,a)\), vecteur normal \(\vec n(a,b)\). Pente \(m=-\frac ab\) si \(b\neq0\).

La forme par déterminant fonctionne même si la droite est verticale.

\(\theta\in\left[0,\frac\pi2\right]\) est l'angle géométrique (non orienté) entre les deux droites.

Condition nécessaire et suffisante d'existence d'un triangle non aplati. L'égalité \(a=b+c\) correspond à trois points alignés.

Usage : trois côtés connus, ou deux côtés et l'angle compris.

Usage : un côté et deux angles. Attention au cas ambigu (deux côtés et un angle non compris) qui peut admettre deux solutions.

Rectangle en \(A\), \(h\) hauteur issue de \(A\), \(m\) et \(n\) les projections de \(b\) et \(c\) sur l'hypoténuse \(a=m+n\).

\(I\) milieu de \([BC]\), valable pour tout point \(M\) du plan.

\(D\in[BC]\) avec \(BD=n\), \(DC=m\), \(AD=d\), \(a=m+n\). Contient comme cas particuliers le théorème de la médiane et le théorème de la bissectrice.

\(D\) pied de la bissectrice intérieure issue de \(A\). Longueur : \(\ell_a=\frac{2bc\cos\frac A2}{b+c}\).

Ne dépend que des trois côtés. Numériquement instable pour un triangle très aplati : préférer la forme de Kahan avec \(a\ge b\ge c\).

Sans la valeur absolue, le déterminant est l'aire algébrique : positive si \(A,B,C\) sont dans le sens direct.

Donc \(\overrightarrow{GH}=-2\overrightarrow{GO}\). La droite est indéfinie si le triangle est équilatéral (les trois points sont confondus).

Il passe par : les 3 milieux des côtés, les 3 pieds des hauteurs, les 3 milieux de \([AH]\), \([BH]\), \([CH]\). Théorème de Feuerbach : il est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits.

Égalité si et seulement si le triangle est équilatéral.

Génération : \(a=m^{2}-n^{2}\), \(b=2mn\), \(c=m^{2}+n^{2}\) avec \(m>n>0\). Le triangle \(30\)-\(60\)-\(90\) a pour côtés \(1,\sqrt3,2\) ; le \(45\)-\(45\)-\(90\) a pour côtés \(1,1,\sqrt2\).

La somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés. Version vectorielle : \(\|\vec u+\vec v\|^{2}+\|\vec u-\vec v\|^{2}=2\|\vec u\|^{2}+2\|\vec v\|^{2}\).

Valable pour tout quadrilatère, même croisé ou non plan.

Un quadrilatère est circonscriptible (admet un cercle inscrit) si et seulement si \(a+c=b+d\) — théorème de Pitot.

Quadrilatère inscriptible uniquement. Cas dégénéré \(d=0\) : formule de Héron. Cas général (Bretschneider) : retrancher \(abcd\cos^{2}\frac{\widehat A+\widehat C}{2}\) sous la racine.

Égalité si et seulement si \(ABCD\) est inscriptible et convexe ; sinon, inégalité \(\le\) (inégalité de Ptolémée), valable pour quatre points quelconques.

\(R\) rayon circonscrit, \(a_p\) apothème (rayon inscrit), \(c\) côté. Quand \(n\to\infty\), \(\mathcal S\to\pi R^{2}\).

Valable pour tout polygone simple (non croisé), convexe ou non, dont on connaît les sommets ordonnés.

Polygone simple dont les sommets sont à coordonnées entières ; \(i\) = points entiers intérieurs, \(b\) = points entiers sur le bord.

L'équation générale \(x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\) définit un cercle réel si et seulement si \(D^{2}+E^{2}-4F>0\) ; un point si \(=0\) ; rien si \(<0\).

Le second est le paramétrage rationnel (\(s=\tan\frac t2\)) ; il manque le point \((x_0-R,y_0)\) mais permet de trouver tous les points rationnels du cercle.

Traduction analytique du théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle (théorème de Thalès sur le cercle).

Tous les angles inscrits interceptant le même arc sont égaux. Angle entre une tangente et une corde : également la moitié de l'arc intercepté.

Indépendante de la sécante \((AB)\) choisie. \(\mathcal P>0\) à l'extérieur, \(=0\) sur le cercle, \(<0\) à l'intérieur. Si \(M\) est extérieur et \(MT\) la tangente : \(\mathcal P=MT^{2}\).

S'obtient en soustrayant les deux équations de cercles. Les trois axes radicaux de trois cercles sont concourants au centre radical.

Tangente en \(M_1(x_1,y_1)\in\mathcal C\) : règle du dédoublement (remplacer \(x^{2}\) par \(x_1x\), etc.). Longueur de la tangente issue d'un point extérieur : \(\sqrt{MO^{2}-R^{2}}\).

Aire du segment circulaire (entre la corde et l'arc) : \(\frac{R^{2}}{2}(\theta-\sin\theta)\).

\(d=|R_1-R_2|\) : tangents intérieurement ; \(d<|R_1-R_2|\) : l'un est intérieur à l'autre.

Critère du birapport réel en écriture complexe. Critère angulaire équivalent : \(\widehat{(CA,CB)}=\widehat{(DA,DB)}\ [\pi]\).

Le cercle est le cas limite \(e=0\) (directrice rejetée à l'infini).

Pôle au foyer, \(p\) paramètre. C'est la forme utilisée en mécanique céleste (première loi de Kepler).

Définition bifocale : \(MF+MF'=2a\). Paramétrage : \(x=a\cos t\), \(y=b\sin t\).

Le périmètre exact n'est pas élémentaire : c'est une intégrale elliptique \(4aE(e)\). L'approximation donnée est celle de Ramanujan, précise à \(10^{-5}\) près pour les excentricités usuelles.

Règle du dédoublement en \(M_1(x_1,y_1)\) sur la courbe. Propriété focale : la tangente fait des angles égaux avec les deux rayons focaux — un rayon issu d'un foyer se réfléchit vers l'autre.

Définition bifocale : \(|MF-MF'|=2a\). Paramétrage : \(x=\pm a\operatorname{ch} t\), \(y=b\operatorname{sh} t\).

Tangente en \(M_1\) : \(y_1y=p(x+x_1)\). Propriété focale : tout rayon parallèle à l'axe se réfléchit vers le foyer — principe du miroir parabolique et de l'antenne.

\(\delta<0\) : ellipse (cercle si \(A=C\) et \(B=0\)) ; \(\delta=0\) : parabole ; \(\delta>0\) : hyperbole. Cas dégénérés (point, droites, vide) si le déterminant \(3\times3\) associé s'annule.

Rotation d'angle \(\varphi\) des axes. Méthode équivalente : diagonaliser la matrice symétrique \(\begin{pmatrix}A&B/2\\ B/2&C\end{pmatrix}\), dont les valeurs propres donnent les demi-axes.

Bilinéaire, symétrique, défini positif. \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\).

Anticommutatif : \(\vec v\wedge\vec u=-\vec u\wedge\vec v\), et non associatif. Sa norme est l'aire du parallélogramme construit sur \(\vec u\) et \(\vec v\) ; il est orthogonal aux deux, orienté par la règle de la main droite.

Volume algébrique du parallélépipède. Nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires. Invariant par permutation circulaire, changé de signe par transposition.

Mnémonique « BAC moins CAB ». Identité de Jacobi : \(\vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w)+\vec v\wedge(\vec w\wedge\vec u)+\vec w\wedge(\vec u\wedge\vec v)=\vec 0\).

Traduction de \(\cos^{2}+\sin^{2}=1\). Elle contient l'inégalité de Cauchy–Schwarz : \(|\vec u\cdot\vec v|\le\|\vec u\|\|\vec v\|\).

Nul si et seulement si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires. Signe positif si la base \((\vec u,\vec v)\) est directe.

Plan par trois points non alignés : \(\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\), ou \(\det\big(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)=0\).

Dans l'espace, une droite ne se décrit pas par une seule équation cartésienne : c'est l'intersection de deux plans.

\(A\in\mathcal D\), \(\vec u\) vecteur directeur. Version plane : \(d=\frac{|\det(\overrightarrow{AM},\vec u)|}{\|\vec u\|}\).

Si \(\vec u_1\wedge\vec u_2=\vec0\) les droites sont parallèles : se ramener à une distance point–droite.

Noter le \(\sin\) pour l'angle droite–plan : c'est le complémentaire de l'angle entre \(\vec u\) et \(\vec n\).

Deux droites de l'espace peuvent être non coplanaires : ni sécantes, ni parallèles. Test : \(\big[\overrightarrow{A_1A_2},\vec u_1,\vec u_2\big]\neq0\).

Intersection sphère–plan : cercle de rayon \(\sqrt{R^{2}-d^{2}}\) si \(d=d(\Omega,\mathcal P)<R\) ; un point si \(d=R\) ; vide si \(d>R\).

Convention physique : \(\varphi\in[0,\pi]\) colatitude, \(\theta\in[0,2\pi[\) azimut. Éléments de volume : \(r\,dr\,d\theta\,dz\) et \(\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\).

La seconde forme est celle du tronc de cône. Aire latérale du tronc de cône : \(\pi(R+r)a\) avec \(a=\sqrt{(R-r)^{2}+h^{2}}\).

\(h\) est la hauteur de la calotte. Théorème d'Archimède : l'aire d'une zone sphérique ne dépend que de sa hauteur — la sphère et le cylindre circonscrit ont même aire latérale.

Sommets − arêtes + faces, pour tout polyèdre convexe (plus généralement, de genre 0). Sur un tore : \(S-A+F=0\).

Deux solides dont toutes les sections parallèles ont même aire ont même volume — quelle que soit leur forme.

\(d_G\) distance de l'axe au centre de gravité de la courbe (resp. de la surface) génératrice ; l'axe ne doit pas traverser la figure. Application immédiate : le volume du tore.

Conséquence : le rapport surface/volume varie en \(1/k\) — la raison pour laquelle les petits animaux perdent leur chaleur plus vite.

Toute similitude directe est la composée d'une homothétie et d'une rotation de même centre. Si \(a=1\) : translation.

\(S_\alpha\) est la réflexion d'axe la droite d'angle polaire \(\alpha\). \(\det R_\theta=1\) (directe), \(\det S_\alpha=-1\) (indirecte).

Réflexion associée : \(S=2P-I\).

Toute isométrie du plan est composée d'au plus trois réflexions.

Une isométrie sans point fixe et indirecte est une symétrie glissée (réflexion suivie d'une translation parallèle à l'axe).

Formule de Rodrigues, \(\|\vec n\|=1\). L'axe est le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 ; \(\operatorname{tr}R=1+2\cos\theta\).

Transforme droites et cercles en droites et cercles ; conserve les angles (conforme). Outil de démonstration puissant en géométrie du cercle.

Le point \(O\) est arbitraire. Le barycentre est inchangé si l'on multiplie tous les coefficients par un même réel non nul — d'où les coordonnées barycentriques, définies à un facteur près.

C'est cette propriété qui permet de démontrer les concours de droites en quelques lignes.

Relativement au triangle \(ABC\). Le centre du cercle d'Euler : \(\big(\cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)\big)\).

Ramène tout lieu défini par une somme pondérée de carrés de distances à un cercle centré en \(G\) — ou à l'ensemble vide.

Conséquences : la duplication du cube (\(\sqrt[3]2\)), la trisection générale de l'angle et la quadrature du cercle (\(\pi\) transcendant) sont impossibles. Un polygone régulier à \(n\) côtés est constructible si et seulement si \(n=2^{k}p_1\cdots p_r\) avec des nombres premiers de Fermat distincts (Gauss–Wantzel).

\(D\in(BC)\), \(E\in(CA)\), \(F\in(AB)\). Démonstration en trois lignes par les barycentres. Cas particuliers : médianes, bissectrices, hauteurs.

Même configuration que Ceva : seul le signe du produit change. \(+1\) : concours ; \(-1\) : alignement.

Théorème purement projectif : il ne fait intervenir ni distance ni angle. Sa réciproque est son propre dual.

Cas dégénéré du théorème de Pascal, la conique se réduisant à deux droites.

Dual : théorème de Brianchon — dans un hexagone circonscrit à une conique, les trois diagonales principales sont concourantes.

Vrai pour les constructions extérieures comme intérieures ; la différence des aires des deux triangles de Napoléon égale l'aire du triangle initial.

Vrai pour tout triangle, sans exception. Résultat d'autant plus surprenant que la trisection n'est pas constructible à la règle et au compas.

Le point de concours est le centre radical : c'est de lui qu'on peut mener des tangentes de même longueur aux trois cercles.

Égalité pour le disque dans le plan, la boule dans l'espace : à périmètre (resp. aire) donné, ce sont les figures d'aire (resp. de volume) maximale.

Invariant par projection centrale — l'invariant fondamental de la géométrie projective. Division harmonique : \([A,B;C,D]=-1\).

Toute formule d'aire doit être homogène de degré 2, toute formule de volume de degré 3. Tester sur le cas équilatéral, le carré ou le cas \(k=1\) élimine la plupart des erreurs de coefficient.