Carré
\[P=4c\qquad \mathcal A=c^{2}\]
Diagonale \(d=c\sqrt2\). Quatre côtés égaux, quatre angles droits.
Aucune figure ne correspond. Essayez losange, cylindre, pente ou hectare.
Section 01
Figures planes : périmètre et aire
Le périmètre \(P\) est la longueur du contour (en m, cm…). L'aire \(\mathcal A\) est la mesure de la surface (en m², cm²…). Sur chaque figure, les cotes en ambre indiquent la dimension désignée par chaque lettre.
Quadrilatères
Rectangle
\[P=2(L+\ell)\qquad \mathcal A=L\times\ell\]
Diagonale \(d=\sqrt{L^{2}+\ell^{2}}\) (Pythagore).
Parallélogramme
\[P=2(a+b)\qquad \mathcal A=b\times h\]
h est la hauteur, mesurée perpendiculairement à la base — jamais le côté oblique.
Losange
\[P=4c\qquad \mathcal A=\frac{d_1\times d_2}{2}\]
Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Aussi : \(\mathcal A=c\,h\).
Trapèze
\[\mathcal A=\frac{(B+b)\times h}{2}\]
Moyenne des deux bases parallèles, multipliée par la hauteur. \(B\) = grande base, \(b\) = petite base.
Cerf-volant
\[\mathcal A=\frac{d_1\times d_2}{2}\]
Une diagonale est la médiatrice de l'autre. Même formule que le losange, qui en est un cas particulier.
Triangles
Triangle quelconque
\[\mathcal A=\frac{b\times h}{2}\]
\(b\) est une base, \(h\) la hauteur relative à cette base. Les trois couples base–hauteur donnent la même aire.
Triangle rectangle
\[\mathcal A=\frac{a\times b}{2}\qquad c^{2}=a^{2}+b^{2}\]
Les deux côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur. \(c\) est l'hypoténuse, le plus grand côté.
Triangle équilatéral
\[h=\frac{c\sqrt3}{2}\qquad \mathcal A=\frac{c^{2}\sqrt3}{4}\]
Trois côtés égaux, trois angles de \(60^\circ\). \(P=3c\).
Cercle et parties du disque
Cercle et disque
\[P=2\pi R=\pi D\qquad \mathcal A=\pi R^{2}\]
\(R\) rayon, \(D=2R\) diamètre. Attention : le périmètre utilise \(R\), l'aire utilise \(R^{2}\).
Couronne
\[\mathcal A=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right)\]
Aire du grand disque moins celle du petit. Ne pas écrire \(\pi(R-r)^{2}\), qui est faux.
Secteur circulaire
\[\ell=R\theta\qquad \mathcal A=\frac{R^{2}\theta}{2}\]
\(\theta\) en radians. En degrés : \(\ell=2\pi R\frac{\alpha}{360}\) et \(\mathcal A=\pi R^{2}\frac{\alpha}{360}\).
Segment circulaire
\[\mathcal A=\frac{R^{2}}{2}\big(\theta-\sin\theta\big)\]
Portion comprise entre une corde et son arc : secteur moins triangle. \(\theta\) en radians. Corde \(=2R\sin\frac\theta2\).
Ellipse
\[\mathcal A=\pi ab\]
\(a\) et \(b\) sont les demi-axes. Si \(a=b=R\), on retrouve le disque. Le périmètre n'a pas de formule simple.
Polygones réguliers
Polygone régulier à n côtés
\[P=n\,c\qquad \mathcal A=\frac{P\times a}{2}=\frac{n\,c\,a}{2}\]
\(c\) côté, \(a\) apothème (distance du centre au milieu d'un côté), \(R\) rayon du cercle circonscrit. Angle intérieur : \(\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}\).
Hexagone régulier
\[\mathcal A=\frac{3c^{2}\sqrt3}{2}\qquad R=c\]
Il se découpe en 6 triangles équilatéraux de côté \(c\) : le rayon du cercle circonscrit est égal au côté.
Section 02
Solides : volume et aire
\(\mathcal V\) est le volume (en m³, cm³, L…), \(\mathcal A_{\text{lat}}\) l'aire latérale et \(\mathcal A_{\text{tot}}\) l'aire totale (latérale + bases). Les arêtes cachées sont en pointillés.
Solides droits
Cube
\[\mathcal V=a^{3}\qquad \mathcal A_{\text{tot}}=6a^{2}\]
12 arêtes égales, 6 faces carrées. Grande diagonale : \(a\sqrt3\).
Pavé droit
\[\mathcal V=L\times\ell\times h\qquad \mathcal A_{\text{tot}}=2(L\ell+Lh+\ell h)\]
Grande diagonale : \(\sqrt{L^{2}+\ell^{2}+h^{2}}\).
Prisme droit
\[\mathcal V=\mathcal B\times h\qquad \mathcal A_{\text{lat}}=P_{\text{base}}\times h\]
\(\mathcal B\) = aire d'une base, \(h\) = hauteur. Valable pour toute base polygonale (le pavé en est un cas particulier).
Cylindre de révolution
\[\mathcal V=\pi R^{2}h\qquad \mathcal A_{\text{lat}}=2\pi Rh\qquad \mathcal A_{\text{tot}}=2\pi R(R+h)\]
Déroulée, la surface latérale est un rectangle de dimensions \(2\pi R\) et \(h\).
Solides pointus
Pyramide
\[\mathcal V=\frac{\mathcal B\times h}{3}\]
\(h\) est la hauteur, du sommet perpendiculairement au plan de base — pas l'arête. Le tiers du prisme de même base et même hauteur.
Cône de révolution
\[\mathcal V=\frac{\pi R^{2}h}{3}\qquad \mathcal A_{\text{lat}}=\pi Rg\]
\(g\) est la génératrice (côté oblique) : \(g=\sqrt{R^{2}+h^{2}}\). Ne pas confondre \(g\) et \(h\). \(\mathcal A_{\text{tot}}=\pi R(R+g)\).
Tronc de cône
\[\mathcal V=\frac{\pi h}{3}\left(R^{2}+Rr+r^{2}\right)\]
Aire latérale : \(\pi(R+r)g\) avec \(g=\sqrt{(R-r)^{2}+h^{2}}\). Si \(r=0\), on retrouve le cône.
Tétraèdre régulier
\[\mathcal V=\frac{a^{3}\sqrt2}{12}\qquad \mathcal A_{\text{tot}}=a^{2}\sqrt3\]
4 faces triangulaires équilatérales de côté \(a\). Hauteur : \(h=a\sqrt{\frac23}\).
Sphère et dérivés
Sphère et boule
\[\mathcal V=\frac{4}{3}\pi R^{3}\qquad \mathcal A=4\pi R^{2}\]
La sphère est la surface, la boule le solide plein. L'aire vaut exactement 4 fois celle du disque de même rayon.
Calotte sphérique
\[\mathcal A=2\pi Rh\qquad \mathcal V=\frac{\pi h^{2}}{3}\big(3R-h\big)\]
\(h\) = hauteur de la calotte. L'aire ne dépend que de \(h\) : deux tranches de même épaisseur ont la même aire (Archimède).
Tore
\[\mathcal V=2\pi^{2}Rr^{2}\qquad \mathcal A=4\pi^{2}Rr\]
\(R\) = rayon du cercle directeur (axe → centre du tube), \(r\) = rayon du tube. Obtenu par le théorème de Guldin.
Principes généraux
Effet d'échelle
\[\text{longueurs}\times k\ \Rightarrow\ \text{aires}\times k^{2}\ \Rightarrow\ \text{volumes}\times k^{3}\]
Doubler toutes les dimensions multiplie l'aire par 4 et le volume par 8, pas par 2. Erreur classique.
Principe de Cavalieri
\[\forall z,\ \mathcal A_1(z)=\mathcal A_2(z)\ \Longrightarrow\ \mathcal V_1=\mathcal V_2\]
Deux solides dont toutes les tranches horizontales ont la même aire ont le même volume, quelle que soit leur forme. C'est pourquoi un prisme penché a le même volume que le prisme droit correspondant.
| Solide | Volume | Aire totale |
|---|---|---|
| Cube d'arête \(a\) | \(a^{3}\) | \(6a^{2}\) |
| Pavé \(L,\ell,h\) | \(L\ell h\) | \(2(L\ell+Lh+\ell h)\) |
| Prisme droit | \(\mathcal B h\) | \(P_{\text{base}}h+2\mathcal B\) |
| Cylindre | \(\pi R^{2}h\) | \(2\pi R(R+h)\) |
| Pyramide | \(\frac13\mathcal B h\) | \(\mathcal A_{\text{lat}}+\mathcal B\) |
| Cône | \(\frac13\pi R^{2}h\) | \(\pi R(R+g)\) |
| Sphère / boule | \(\frac43\pi R^{3}\) | \(4\pi R^{2}\) |
| Tore \((R,r)\) | \(2\pi^{2}Rr^{2}\) | \(4\pi^{2}Rr\) |
| Tétraèdre régulier | \(\frac{a^{3}\sqrt2}{12}\) | \(a^{2}\sqrt3\) |
Section 03
Droites dans le plan
Repère orthonormé \((O;\vec\imath,\vec\jmath)\). Points \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\). Toutes les figures utilisent les mêmes axes : l'origine en bas à gauche, \(x\) vers la droite, \(y\) vers le haut.
Distance entre deux points
\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}\]
C'est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les écarts d'abscisses et d'ordonnées.
Milieu d'un segment
\[I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)\]
On fait la moyenne des abscisses, puis la moyenne des ordonnées.
Coefficient directeur (pente)
\[m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
« Ce qu'on monte divisé par ce qu'on avance ». \(m>0\) : la droite monte ; \(m<0\) : elle descend ; \(m=0\) : horizontale. Une droite verticale n'a pas de pente.
Équation réduite
\[y=mx+p\]
\(m\) est la pente, \(p\) l'ordonnée à l'origine (valeur de \(y\) quand \(x=0\)). Quand on avance de 1, on monte de \(m\). Ne convient pas aux droites verticales.
Équation cartésienne
\[ax+by+c=0\qquad (a,b)\neq(0,0)\]
Forme universelle : elle décrit aussi les verticales (\(b=0\)). Vecteur directeur \(\vec u(-b\,;a)\), vecteur normal \(\vec n(a\,;b)\).
Droite passant par deux points
\[m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\qquad y=m(x-x_A)+y_A\]
On calcule d'abord la pente, puis on utilise un des deux points pour trouver \(p\). Vérification : le second point doit aussi satisfaire l'équation.
Droites parallèles
\[d\parallel d'\iff m=m'\iff ab'-a'b=0\]
Même pente, ordonnées à l'origine différentes. Si en plus \(p=p'\), les droites sont confondues.
Droites perpendiculaires
\[d\perp d'\iff m\,m'=-1\iff aa'+bb'=0\]
La pente de la perpendiculaire est l'opposé de l'inverse : si \(m=\frac23\), alors \(m'=-\frac32\).
Distance d'un point à une droite
\[d(M,\mathcal D)=\frac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\]
C'est la distance la plus courte, mesurée perpendiculairement. Les barres sont une valeur absolue : une distance est toujours positive.
Médiatrice d'un segment
\[M\in\text{méd}[AB]\iff MA=MB\]
Droite perpendiculaire à \([AB]\) passant par son milieu. C'est l'ensemble des points équidistants de \(A\) et \(B\).
Équation d'un cercle
\[(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}=R^{2}\]
\(\Omega(x_0,y_0)\) est le centre. Attention aux signes : un centre en \((3,-2)\) donne \((x-3)^{2}+(y+2)^{2}\).
Intersection de deux droites
\[\begin{cases}y=mx+p\\ y=m'x+p'\end{cases}\Rightarrow x=\frac{p'-p}{m-m'}\]
On résout le système. Si \(m=m'\) : pas de solution (parallèles strictes) ou une infinité (confondues).
Section 04
Angles, Thalès et Pythagore
Les trois outils qui permettent de calculer une longueur ou un angle manquant dans presque toutes les configurations élémentaires.
Angles supplémentaires et complémentaires
\[\alpha+\beta=180^\circ\ \text{(supplémentaires)}\qquad \alpha+\beta=90^\circ\ \text{(complémentaires)}\]
Deux angles opposés par le sommet sont égaux. Angle plat \(=180^\circ\), angle droit \(=90^\circ\), tour complet \(=360^\circ\).
Parallèles coupées par une sécante
\[\text{alternes-internes égaux}\quad\text{et}\quad\text{correspondants égaux}\]
La réciproque est vraie : si deux angles alternes-internes sont égaux, alors les droites sont parallèles. C'est ainsi qu'on démontre un parallélisme.
Somme des angles
\[\widehat A+\widehat B+\widehat C=180^\circ\]
Dans tout triangle. Pour un polygone convexe à \(n\) côtés : \((n-2)\times180^\circ\). Somme des angles extérieurs : toujours \(360^\circ\).
Théorème de Pythagore
\[\widehat A=90^\circ\iff c^{2}=a^{2}+b^{2}\]
\(c\) est l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit — toujours le plus long. Le sens direct calcule une longueur ; la réciproque prouve qu'un angle est droit.
Théorème de Thalès
\[\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\]
Il faut que \((MN)\parallel(BC)\). Écrire les rapports toujours dans le même ordre : petit triangle au numérateur, grand au dénominateur, en partant du sommet commun \(A\).
Trigonométrie du triangle rectangle
\[\sin B=\frac{\text{opp}}{\text{hyp}}\qquad \cos B=\frac{\text{adj}}{\text{hyp}}\qquad \tan B=\frac{\text{opp}}{\text{adj}}\]
Moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA. « Opposé » et « adjacent » se lisent par rapport à l'angle considéré, jamais dans l'absolu.
Section 05
Unités et conversions
La moitié des erreurs de calcul d'aire ou de volume sont des erreurs d'unités. La règle tient en une phrase : quand on change d'unité de longueur d'un rang, l'aire change de deux rangs et le volume de trois.
Pourquoi ×100 pour les aires
\[1\ \text{dm}=10\ \text{cm}\ \Rightarrow\ 1\ \text{dm}^{2}=100\ \text{cm}^{2}\]
Un carré de 1 dm de côté contient 10 × 10 = 100 carrés de 1 cm. De même \(1\ \text{dm}^{3}=1000\ \text{cm}^{3}\).
Volumes et capacités
\[1\ \text{L}=1\ \text{dm}^{3}=1000\ \text{cm}^{3}\qquad 1\ \text{m}^{3}=1000\ \text{L}\]
Et \(1\ \text{mL}=1\ \text{cm}^{3}\). C'est le pont entre les unités de volume et les unités de capacité.
| Grandeur | Passage à l'unité immédiatement plus petite | Exemples |
|---|---|---|
| Longueur | × 10 | 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm |
| Aire | × 100 | 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² |
| Volume | × 1000 | 1 m³ = 1000 dm³ = 1 000 000 cm³ |
| Capacité | × 10 | 1 L = 10 dL = 100 cL = 1000 mL |
| Agraire | — | 1 a = 100 m² ; 1 ha = 100 a = 10 000 m² ; 1 km² = 100 ha |
| Conversion utile | Valeur |
|---|---|
| 1 L | 1 dm³ = 1000 cm³ = 0,001 m³ |
| 1 mL | 1 cm³ |
| 1 m³ | 1000 L |
| 1 hectare | 10 000 m² (un carré de 100 m de côté) |
| 1 tour | 360° = \(2\pi\) rad |
| 1 rad | ≈ 57,3° |
| \(\pi\) | ≈ 3,14159 ; \(\pi\approx\frac{22}{7}\) pour un calcul mental |
Section 06
Méthode et pièges
Ce qui fait perdre des points n'est presque jamais le calcul lui-même.
Hauteur ou côté oblique ?
\[\mathcal A_{\text{parallélogramme}}=b\times h\ \neq\ b\times a\]
Dans un parallélogramme, un trapèze ou un triangle, \(h\) se mesure perpendiculairement à la base. Le côté oblique est toujours plus long : l'utiliser surestime l'aire.
Génératrice ou hauteur ?
\[\mathcal A_{\text{lat}}^{\text{cône}}=\pi R g\qquad \mathcal V=\frac{\pi R^{2}h}{3},\qquad g=\sqrt{R^{2}+h^{2}}\]
L'aire latérale du cône utilise la génératrice \(g\), le volume utilise la hauteur \(h\). Les deux sont différentes, sauf cas dégénéré.
Unités mélangées
\[3\ \text{m}\times40\ \text{cm}\neq120\ \text{(quelque chose)}\]
Convertir avant de multiplier : \(3\ \text{m}\times0{,}4\ \text{m}=1{,}2\ \text{m}^{2}\). Et vérifier que le résultat porte la bonne unité : m² pour une aire, m³ pour un volume.
Rayon ou diamètre ?
\[\mathcal A=\pi R^{2}\quad\text{et non}\quad \pi D^{2}\]
Les énoncés donnent souvent le diamètre. Diviser par 2 avant tout calcul. Avec le diamètre : \(\mathcal A=\frac{\pi D^{2}}{4}\).
Couronne et carré de la différence
\[\pi\big(R^{2}-r^{2}\big)\ \neq\ \pi(R-r)^{2}\]
On soustrait les aires, pas les rayons. Même piège pour la différence de deux volumes.
Les quatre contrôles
\[\textbf{1.}\ \text{unité}\quad \textbf{2.}\ \text{ordre de grandeur}\quad \textbf{3.}\ \text{cas connu}\quad \textbf{4.}\ \text{schéma}\]
Une aire est en unités carrées, un volume en unités cubes. Une réponse doit rester plausible : un cylindre de 10 cm de rayon et 20 cm de haut fait quelques litres, pas quelques mètres cubes. Tester la formule sur un cas simple (\(R=1\), cube d'arête 1) élimine la plupart des coefficients faux.
Décomposer une figure complexe
\[\mathcal A_{\text{totale}}=\sum \mathcal A_{\text{simples}}\ \ \text{ou}\ \ \mathcal A_{\text{englobante}}-\sum \mathcal A_{\text{retirées}}\]
Toute figure du programme se ramène à des rectangles, triangles, disques et portions de disque. Deux stratégies : additionner des morceaux ou retrancher d'une figure englobante — choisir celle qui donne le moins de calculs.
Valeur exacte et valeur approchée
\[\mathcal A=25\pi\ \text{cm}^{2}\quad\text{(exacte)}\qquad \mathcal A\approx78{,}5\ \text{cm}^{2}\quad\text{(approchée)}\]
Garder \(\pi\) et les racines jusqu'au bout, puis arrondir une seule fois à la fin. Arrondir en cours de calcul accumule les erreurs. Utiliser \(\approx\) et non \(=\) pour une valeur arrondie.