Section 01
Fondements
Construction de l'intégrale, propriétés structurelles et inégalités. Sauf mention contraire, f et g sont continues par morceaux sur un segment \([a,b]\) avec \(a\le b\).
Construction
Pour une subdivision \(\sigma=(a=x_0<\dots<x_n=b)\) de pas \(|\sigma|=\max_i(x_i-x_{i-1})\) et \(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\). La limite existe et ne dépend ni de \(\sigma\) ni des \(\xi_i\) dès que f est continue par morceaux (plus généralement : bornée et continue presque partout — critère de Lebesgue).
\(f\) bornée est Riemann-intégrable si et seulement si \(\sup_\sigma s(\sigma)=\inf_\sigma S(\sigma)\), c'est-à-dire si pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(\sigma\) telle que \(S(\sigma)-s(\sigma)<\varepsilon\).
Cas particulier très utile : \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac kn\right)=\int_0^1 f(t)\,dt\). Si \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\), l'erreur est en \(O(1/n)\) ; \(\mathcal C^2\) et point milieu : \(O(1/n^2)\).
Théorème fondamental
Si \(f\) est continue sur \(I\) et \(a\in I\), alors \(F\) est l'unique primitive de \(f\) s'annulant en \(a\), et \(F\in\mathcal C^1(I)\). Si \(f\) est seulement continue par morceaux, \(F\) est continue et dérivable en tout point de continuité de \(f\).
Valable si \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle contenant \([a,b]\). Piège classique : \(F\) doit être définie et dérivable sur tout l'intervalle, sans trou (voir §14).
\(f\) continue, \(u,v\) dérivables à valeurs dans le domaine de \(f\).
Propriétés algébriques
Valable pour \(a,b,c\) quelconques dans un intervalle où \(f\) est intégrable, sans condition d'ordre.
L'hypothèse \(a\le b\) est indispensable.
Faux sans la continuité (une fonction nulle sauf en un point a une intégrale nulle).
Cas \(g=1\) : \(\left|\int_a^b f\right|\le (b-a)\sup|f|\).
Théorème de la moyenne : si \(f\) est continue, il existe \(c\in\,]a,b[\) tel que \(\int_a^b f=(b-a)f(c)\).
\(f\) continue, \(g\) intégrable de signe constant sur \([a,b]\).
Inégalités intégrales
Égalité si et seulement si \(f\) et \(g\) sont proportionnelles (\(f,g\) continues).
\(\varphi\) convexe sur un intervalle contenant \(f([a,b])\). Inégalité renversée si \(\varphi\) est concave.
Si \(f\) et \(g\) sont toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes). Sens inverse si les monotonies sont opposées.
Symétries
Substitution \(u=a+b-t\). Outil de base pour de nombreuses intégrales « astucieuses » (voir §07).
Formules de Taylor
\(f\) de classe \(\mathcal C^{n+1}\) sur un intervalle contenant \(a\) et \(b\).
Donne la nature de \(\sum f(k)\) à partir de celle de \(\int^{+\infty} f\), et les équivalents de sommes partielles ou de restes.
Section 02
Primitives usuelles
Toute primitive est définie à une constante additive près sur chaque intervalle du domaine ; la constante \(+C\) est sous-entendue dans tous les tableaux. La colonne « domaine » indique l'intervalle maximal de validité.
Puissances, exponentielles, logarithmes
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(x^{\alpha}\) | \(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) | \(\alpha\neq-1\) ; \(\mathbb R\) si \(\alpha\in\mathbb N\), \(\mathbb R_+^*\) sinon |
| \(\dfrac1x\) | \(\ln|x|\) | \(]-\infty,0[\) ou \(]0,+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{(x-a)^n}\) | \(\dfrac{-1}{(n-1)(x-a)^{n-1}}\) | \(n\ge 2\), \(x\neq a\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(x>0\) |
| \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | \(\mathbb R\) |
| \(e^{ax}\) | \(\dfrac{e^{ax}}{a}\) | \(a\neq0\), \(\mathbb R\) |
| \(a^{x}\) | \(\dfrac{a^{x}}{\ln a}\) | \(a>0,\ a\neq1\) |
| \(\ln x\) | \(x\ln x-x\) | \(x>0\) |
| \(\log_a x\) | \(\dfrac{x\ln x-x}{\ln a}\) | \(x>0,\ a>0,\ a\neq1\) |
| \(x^{n}\ln x\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\left(\ln x-\dfrac{1}{n+1}\right)\) | \(x>0\), \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{1}{x\ln x}\) | \(\ln\big|\ln x\big|\) | \(x>0,\ x\neq1\) |
Fonctions circulaires
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb R\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb R\) |
| \(\tan x\) | \(-\ln|\cos x|\) | \(x\neq\frac\pi2+k\pi\) |
| \(\cot x\) | \(\ln|\sin x|\) | \(x\neq k\pi\) |
| \(\dfrac{1}{\cos^{2}x}=1+\tan^2x\) | \(\tan x\) | \(x\neq\frac\pi2+k\pi\) |
| \(\dfrac{1}{\sin^{2}x}\) | \(-\cot x\) | \(x\neq k\pi\) |
| \(\dfrac{1}{\sin x}\) | \(\ln\left|\tan\dfrac{x}{2}\right|\) | \(x\neq k\pi\) |
| \(\dfrac{1}{\cos x}\) | \(\ln\left|\tan\!\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\right|\) | \(x\neq\frac\pi2+k\pi\) |
| \(\sin^{2}x\) | \(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4}\) | \(\mathbb R\) |
| \(\cos^{2}x\) | \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}\) | \(\mathbb R\) |
| \(\tan^{2}x\) | \(\tan x-x\) | \(x\neq\frac\pi2+k\pi\) |
| \(\sin(ax+b)\) | \(-\dfrac{\cos(ax+b)}{a}\) | \(a\neq0\) |
Fonctions circulaires réciproques
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{1+x^{2}}\) | \(\arctan x\) | \(\mathbb R\) |
| \(\dfrac{1}{a^{2}+x^{2}}\) | \(\dfrac1a\arctan\dfrac xa\) | \(a>0\), \(\mathbb R\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) | \(\arcsin x\) | \(]-1,1[\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\) | \(\arcsin\dfrac xa\) | \(a>0\), \(|x|<a\) |
| \(\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) | \(\arccos x\) | \(]-1,1[\) |
| \(\arcsin x\) | \(x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}\) | \([-1,1]\) |
| \(\arccos x\) | \(x\arccos x-\sqrt{1-x^{2}}\) | \([-1,1]\) |
| \(\arctan x\) | \(x\arctan x-\dfrac12\ln(1+x^{2})\) | \(\mathbb R\) |
| \(\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}\) | \(\operatorname{arcsec}|x| = \arccos\dfrac{1}{|x|}\) | \(|x|>1\) |
Fonctions hyperboliques et réciproques
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(\operatorname{sh} x\) | \(\operatorname{ch} x\) | \(\mathbb R\) |
| \(\operatorname{ch} x\) | \(\operatorname{sh} x\) | \(\mathbb R\) |
| \(\operatorname{th} x\) | \(\ln(\operatorname{ch} x)\) | \(\mathbb R\) |
| \(\coth x\) | \(\ln|\operatorname{sh} x|\) | \(x\neq0\) |
| \(\dfrac{1}{\operatorname{ch}^{2}x}=1-\operatorname{th}^2x\) | \(\operatorname{th} x\) | \(\mathbb R\) |
| \(\dfrac{1}{\operatorname{sh}^{2}x}\) | \(-\coth x\) | \(x\neq0\) |
| \(\dfrac{1}{\operatorname{ch} x}\) | \(2\arctan(e^{x})\) ou \(\arctan(\operatorname{sh} x)\) | \(\mathbb R\) |
| \(\dfrac{1}{\operatorname{sh} x}\) | \(\ln\left|\operatorname{th}\dfrac x2\right|\) | \(x\neq0\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\) | \(\operatorname{argsh} x=\ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+1}\big)\) | \(\mathbb R\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\) | \(\operatorname{argch} x=\ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}-1}\big)\) | \(x>1\) |
| \(\dfrac{1}{1-x^{2}}\) | \(\operatorname{argth} x=\dfrac12\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|\) | \(|x|<1\) (ou \(\operatorname{argcoth}\) si \(|x|>1\)) |
| \(\operatorname{argsh} x\) | \(x\operatorname{argsh} x-\sqrt{x^{2}+1}\) | \(\mathbb R\) |
| \(\operatorname{argth} x\) | \(x\operatorname{argth} x+\dfrac12\ln(1-x^{2})\) | \(|x|<1\) |
Formes quadratiques et irrationnelles
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{x^{2}-a^{2}}\) | \(\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|\) | \(a>0\), \(x\neq\pm a\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\) | \(\ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\big)\) | \(\mathbb R\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\) | \(\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|\) | \(|x|>a>0\) |
| \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\) | \(\dfrac{x\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\arcsin\dfrac xa\) | \(|x|\le a\) |
| \(\sqrt{x^{2}+a^{2}}\) | \(\dfrac{x\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\big)\) | \(\mathbb R\) |
| \(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\) | \(\dfrac{x\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{2}-\dfrac{a^{2}}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|\) | \(|x|>a>0\) |
| \(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}\) | \(\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\) | domaine de définition |
| \(\dfrac{1}{ax^{2}+bx+c}\) | voir §04 — mise sous forme canonique | selon \(\Delta=b^{2}-4ac\) |
Les constantes \(C_1\) et \(C_2\) sont indépendantes : \(\ln|x|\) n'est pas « une » primitive sur \(\mathbb R^*\), qui n'est pas un intervalle.
Section 03
Formes composées
Reconnaître \(u'\times(\text{fonction de }u)\) est le réflexe qui économise le plus de calculs. Dans tout ce tableau, \(u\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur l'intervalle considéré et prend ses valeurs dans le domaine de la fonction extérieure.
| Forme | Primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\,u^{\alpha}\) | \(\dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) | \(\alpha\neq-1\) ; \(u>0\) si \(\alpha\notin\mathbb Z\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u\) ne s'annule pas |
| \(\dfrac{u'}{u^{2}}\) | \(-\dfrac{1}{u}\) | \(u\neq0\) |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u>0\) |
| \(u'e^{u}\) | \(e^{u}\) | — |
| \(u'a^{u}\) | \(\dfrac{a^{u}}{\ln a}\) | \(a>0,\ a\neq1\) |
| \(u'\cos u\) | \(\sin u\) | — |
| \(u'\sin u\) | \(-\cos u\) | — |
| \(u'(1+\tan^{2}u)\) | \(\tan u\) | \(\cos u\neq0\) |
| \(\dfrac{u'}{1+u^{2}}\) | \(\arctan u\) | — |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}\) | \(\arcsin u\) | \(|u|<1\) |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u^{2}+1}}\) | \(\operatorname{argsh} u\) | — |
| \(u'\operatorname{ch} u\) / \(u'\operatorname{sh} u\) | \(\operatorname{sh} u\) / \(\operatorname{ch} u\) | — |
| \(\dfrac{u'}{u\ln u}\) | \(\ln|\ln u|\) | \(u>0,\ u\neq1\) |
| \(u'v+uv'\) | \(uv\) | — |
| \(\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\) | \(\dfrac uv\) | \(v\neq0\) |
On fait apparaître la dérivée du dénominateur (terme en \(\ln\)) puis on traite le reste par forme canonique (terme en \(\arctan\), \(\ln\) ou \(1/x\) selon le signe de \(\Delta\)).
Section 04
Techniques d'intégration
Les deux outils universels (intégration par parties, changement de variable), puis les algorithmes exacts : fractions rationnelles, fonctions trigonométriques, irrationnelles quadratiques.
Les deux théorèmes de calcul
\(u,v\) de classe \(\mathcal C^1\) sur \([a,b]\). Choix de \(u\) : priorité décroissante « L-I-A-T-E » — Logarithme, fonctions Inverses (arctan…), Algébrique (polynôme), Trigonométrique, Exponentielle : on dérive le premier de la liste présent.
\(u,v\) de classe \(\mathcal C^n\). Utile pour \(\int P(x)e^{ax}dx\) avec \(P\) polynomial (la somme est finie car \(P^{(k)}=0\)).
\(\varphi\) de classe \(\mathcal C^1\) sur \([\alpha,\beta]\), \(f\) continue sur \(\varphi([\alpha,\beta])\). Pour une intégrale définie la bijectivité n'est pas requise dans ce sens ; elle l'est pour revenir en arrière (\(t=\varphi^{-1}(x)\)) ou pour calculer une primitive.
Fractions rationnelles
Décomposition en éléments simples sur \(\mathbb R\) : partie entière \(E\) (division euclidienne si \(\deg P\ge\deg Q\)), éléments de 1re espèce (pôles réels) et de 2e espèce (facteurs quadratiques irréductibles, \(\beta_j^2-4\gamma_j<0\)).
Valable si \(r\) est racine simple de \(Q\) et \(P(r)\neq0\) n'est pas requis.
\(m\) = multiplicité du pôle \(r\). En pratique on complète aussi par : évaluation en un point simple, limite de \(x\cdot\frac PQ\) en \(+\infty\), parité.
Si \(\Delta<0\), poser \(x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\,t\) ramène à \(\int\frac{dt}{1+t^{2}}=\arctan t\).
Initialisation \(I_1=\frac1a\arctan\frac xa\). Obtenue par IPP.
Fonctions trigonométriques : règles de Bioche
On teste l'invariance de la forme différentielle \(\omega\) :
• \(\omega(-x)=\omega(x)\) → poser \(\mathbf{u=\cos x}\)
• \(\omega(\pi-x)=\omega(x)\) → poser \(\mathbf{u=\sin x}\)
• \(\omega(\pi+x)=\omega(x)\) → poser \(\mathbf{u=\tan x}\)
• aucune invariance → poser \(\mathbf{t=\tan(x/2)}\) (change toujours en fraction rationnelle).
Ne pas oublier que \(dx\) change de signe : \(\omega(-x)=f(-x)\cdot(-dx)\).
Bijection de \(]-\pi,\pi[\) sur \(\mathbb R\). Toute fraction rationnelle en \(\sin x,\cos x\) devient une fraction rationnelle en \(t\) : la méthode est universelle mais souvent la plus lourde.
Irrationnelles
Après mise sous forme canonique du trinôme sous la racine. Vérifier le signe de la racine lors du retour à \(x\).
\(ad-bc\neq0\). On obtient \(x\) comme fraction rationnelle de \(t\), donc une intégrale de fraction rationnelle.
Rationalise \(\int R\big(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c}\big)dx\) dans tous les cas.
Formules de récurrence courantes
Méthode rapide : intégrer \(e^{(a+ib)x}\) et prendre partie réelle / imaginaire.
\(T_0=x\), \(T_1=-\ln|\cos x|\).
Section 05
Trigonométrie et intégrales de Wallis
Linéarisation, symétries de \([0,\pi/2]\) et récurrences : l'arsenal spécifique des intégrales trigonométriques.
Linéarisation
Développer par le binôme de Newton puis regrouper : toute puissance \(\cos^m x\sin^n x\) devient une combinaison linéaire de \(\cos(kx)\) et \(\sin(kx)\), immédiatement intégrable.
• \(n\) impair : poser \(u=\sin x\) (on isole \(\cos x\,dx\)).
• \(m\) impair : poser \(u=\cos x\).
• \(m,n\) tous deux pairs : linéariser, ou utiliser \(\sin^2=\frac{1-\cos2x}{2}\), \(\cos^2=\frac{1+\cos2x}{2}\).
\(m,n\in\mathbb N^*\). Pour \(m=n=0\) : \(\int_{-\pi}^{\pi}dx=2\pi\).
Intégrales de Wallis
\(W_0=\dfrac\pi2\), \(W_1=1\). La suite \((W_n)\) est strictement décroissante et positive.
Conséquence directe : la constante \(\sqrt{2\pi}\) de la formule de Stirling.
Symétries utiles
Substitution \(t\mapsto \frac\pi2-t\). Exemple : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^a t\,dt}{\sin^a t+\cos^a t}=\frac\pi4\) pour tout \(a\).
Substitution \(x\mapsto\pi-x\).
\(f\) intégrable sur \([a,b]\) (a fortiori continue par morceaux). Idem avec \(\cos(\lambda t)\), \(\sin(\lambda t)\).
Section 06
Intégrales impropres
Une intégrale est impropre si l'intervalle est non borné ou si la fonction n'est pas bornée au voisinage d'une borne. Il faut alors toujours : (1) identifier les bornes problématiques, (2) séparer par Chasles pour n'avoir qu'un problème à la fois, (3) conclure sur chaque morceau.
Définitions
\(f\) continue par morceaux sur \([a,b[\) avec \(b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}\). Si les deux bornes sont impropres, on coupe en un point intérieur : les deux morceaux doivent converger.
Exemple : \(\int_0^1\frac{\sin t}{t}dt\) est faussement impropre en \(0\).
La valeur principale peut exister sans que l'intégrale converge : \(\mathrm{v.p.}\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}=0\) alors que \(\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}\) diverge. Ne jamais confondre.
Intégrales de référence
| Intégrale | Nature | Valeur si convergente |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^{\alpha}}\) (Riemann en \(+\infty\)) | converge \(\iff \alpha>1\) | \(\dfrac{1}{\alpha-1}\) |
| \(\displaystyle\int_0^{1}\frac{dt}{t^{\alpha}}\) (Riemann en \(0\)) | converge \(\iff \alpha<1\) | \(\dfrac{1}{1-\alpha}\) |
| \(\displaystyle\int_a^{b}\frac{dt}{(t-a)^{\alpha}}\) | converge \(\iff \alpha<1\) | \(\dfrac{(b-a)^{1-\alpha}}{1-\alpha}\) |
| \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-\lambda t}dt\) | converge \(\iff \lambda>0\) | \(\dfrac1\lambda\) |
| \(\displaystyle\int_0^{1}\ln t\,dt\) | converge | \(-1\) |
| \(\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{dt}{t^{\alpha}(\ln t)^{\beta}}\) (Bertrand) | converge \(\iff\) \(\alpha>1\), ou \(\alpha=1\) et \(\beta>1\) | — |
| \(\displaystyle\int_0^{1/2}\frac{dt}{t^{\alpha}|\ln t|^{\beta}}\) | converge \(\iff\) \(\alpha<1\), ou \(\alpha=1\) et \(\beta>1\) | — |
Critères pour fonctions positives
L'hypothèse de signe constant est essentielle : \(\frac{\sin t}{t}+\frac{1}{t\ln t}\sim\frac{\sin t}{t}\) mais les natures diffèrent.
Fonctions de signe quelconque
La réciproque est fausse : une intégrale semi-convergente converge sans converger absolument.
Application type : \(\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t^{\alpha}}dt\) converge pour \(\alpha>0\) et n'est absolument convergente que si \(\alpha>1\).
Licite dès que le crochet admet une limite finie aux bornes impropres et que l'une des deux intégrales converge ; l'autre converge alors aussi. Le changement de variable \(\mathcal C^1\) strictement monotone conserve la nature de l'intégrale.
Section 07
Intégrales remarquables
Résultats classiques à connaître ou à savoir retrouver. La méthode indiquée en note est la voie la plus courte.
Gaussiennes
Passage en coordonnées polaires du carré \(\left(\int e^{-x^2}\right)^2=\iint e^{-(x^2+y^2)}\).
\(A\) symétrique définie positive.
Oscillantes
Via \(F(s)=\int_0^\infty e^{-sx}\frac{\sin x}{x}dx\) et dérivation sous l'intégrale : \(F'(s)=-\frac{1}{1+s^2}\).
Logarithmiques
Développement en série géométrique puis intégration terme à terme ; on reconnaît \(\zeta(2)\) et \(\eta(2)\).
Utiliser \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) pour obtenir \(I=2I+\frac\pi2\ln2\).
\(f\) continue sur \([0,+\infty[\), admettant des limites finies \(f(0)\) et \(f(\infty)=\lim_{+\infty}f\) ; \(a,b>0\). Exemple : \(\int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}dx=\ln\frac ba\).
Liens avec les séries
\(\mathrm{Re}(s)>1\) ; \(\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)\). Cas \(s=4\) : \(\int_0^\infty\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{\pi^4}{15}\) (loi de Stefan–Boltzmann).
\(B_{2j}\) : nombres de Bernoulli. Source de la formule de Stirling et de l'accélération de convergence (méthode de Romberg, §13).
Section 08
Gamma, Bêta et fonctions spéciales
Ces fonctions transforment des familles entières d'intégrales en simples évaluations.
Fonction Gamma
Converge en \(0\) car \(z-1>-1\), en \(+\infty\) grâce à la décroissance exponentielle.
Cas \(a=1,b=2,\lambda=1\) : on retrouve \(\frac{\sqrt\pi}{2}\) (Gauss). Autre forme utile : \(\int_0^1\left(\ln\frac1t\right)^{a-1}dt=\Gamma(a)\).
Fonction Bêta
Symétrique : \(B(x,y)=B(y,x)\). Cas entier : \(B(m,n)=\dfrac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}\).
La forme trigonométrique redonne les intégrales de Wallis : \(W_n=\frac12 B\!\left(\frac{n+1}{2},\frac12\right)\).
\(S_{n-1}\) = aire de la sphère unité de \(\mathbb R^n\). Vérification : \(V_2=\pi\), \(V_3=\frac43\pi\).
Fonctions non élémentaires
| Nom | Définition | Remarque |
|---|---|---|
| Fonction d'erreur | \(\operatorname{erf}(x)=\dfrac{2}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_0^{x}e^{-t^{2}}dt\) | \(\operatorname{erf}(+\infty)=1\) |
| Sinus intégral | \(\operatorname{Si}(x)=\displaystyle\int_0^{x}\frac{\sin t}{t}dt\) | \(\operatorname{Si}(+\infty)=\frac\pi2\) |
| Cosinus intégral | \(\operatorname{Ci}(x)=-\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{\cos t}{t}dt\) | \(x>0\) |
| Exponentielle intégrale | \(\operatorname{Ei}(x)=\mathrm{v.p.}\displaystyle\int_{-\infty}^{x}\frac{e^{t}}{t}dt\) | singularité en \(0\) |
| Logarithme intégral | \(\operatorname{li}(x)=\mathrm{v.p.}\displaystyle\int_0^{x}\frac{dt}{\ln t}\) | \(\pi(x)\sim\operatorname{li}(x)\) |
| Dilogarithme | \(\operatorname{Li}_2(x)=-\displaystyle\int_0^{x}\frac{\ln(1-t)}{t}dt\) | \(\operatorname{Li}_2(1)=\frac{\pi^{2}}{6}\) |
| Intégrales elliptiques | \(K(k)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\theta}}\) | période du pendule |
Section 09
Passage à la limite et intégrales à paramètre
Les théorèmes qui autorisent à échanger \(\lim\), \(\sum\), \(\frac{\partial}{\partial x}\) avec le signe \(\int\). Cadre : intégrale de Lebesgue sur un intervalle \(I\).
Aucune hypothèse d'intégrabilité de la limite n'est nécessaire.
La domination doit être uniforme en \(n\) et intégrable. C'est l'hypothèse à justifier explicitement ; sans elle, contre-exemple : \(f_n=n\mathbf 1_{]0,1/n]}\).
\(u_n\) intégrables, \(\sum u_n\) convergeant simplement p.p. (théorème de Fubini pour les séries).
Si (i) \(t\mapsto f(x,t)\) est intégrable pour tout \(x\), (ii) \(x\mapsto f(x,t)\) est continue pour presque tout \(t\), (iii) il existe \(\varphi\in L^1(I)\) telle que \(|f(x,t)|\le\varphi(t)\) pour tout \(x\). La domination peut être locale (sur tout compact de \(X\)).
Si \(\frac{\partial f}{\partial x}\) existe, est continue en \(x\), mesurable en \(t\), et vérifie une domination \(\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\le\psi(t)\) avec \(\psi\in L^1(I)\), indépendante de \(x\) (au moins localement).
Tonelli : pas d'hypothèse d'intégrabilité si \(f\ge0\) (les trois quantités valent \(+\infty\) ensemble). Fubini : pour \(f\) de signe quelconque, il faut d'abord vérifier \(\iint|f|<+\infty\) — en pratique on applique Tonelli à \(|f|\), puis Fubini à \(f\).
Dernière égalité : théorème de Plancherel–Parseval, pour \(f\in L^1\cap L^2\).
Section 10
Intégrales multiples
Réduction à des intégrales simples emboîtées (Fubini) et changement de système de coordonnées (jacobien).
\(D=\{(x,y):a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\}\), \(\varphi_1,\varphi_2\) continues. Type II : rôles de \(x\) et \(y\) échangés — bien redessiner le domaine avant d'inverser l'ordre.
\(\Phi\) est un \(\mathcal C^1\)-difféomorphisme de \(\Delta\) sur \(\Phi(\Delta)\). Noter la valeur absolue du jacobien.
| Coordonnées | Changement | Élément de volume |
|---|---|---|
| Polaires | \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\) | \(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\) |
| Elliptiques | \(x=ar\cos\theta,\ y=br\sin\theta\) | \(dx\,dy=ab\,r\,dr\,d\theta\) |
| Cylindriques | \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z\) | \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\) |
| Sphériques | \(x=r\sin\varphi\cos\theta,\ y=r\sin\varphi\sin\theta,\ z=r\cos\varphi\) | \(dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta\) |
| Affines | \(X=AU+b\), \(A\in GL_n(\mathbb R)\) | \(dX=|\det A|\,dU\) |
Convention « physique », utilisée ci-dessus. Avec la latitude \(\lambda\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]\), l'élément devient \(r^{2}\cos\lambda\,dr\,d\lambda\,d\theta\). Toujours préciser sa convention.
\(\Omega_z\) = section de \(\Omega\) par le plan de cote \(z\).
Uniquement sur un pavé (domaine produit).
Section 11
Intégrales curvilignes et de surface
Analyse vectorielle : circulation, flux, et les trois théorèmes qui les relient aux intégrales de volume.
Le long d'une courbe
Indépendante du paramétrage et de l'orientation. \(ds=\|\gamma'(t)\|dt\) est l'abscisse curviligne.
Change de signe avec l'orientation de \(\Gamma\).
L'intégrale ne dépend alors que des extrémités, et est nulle sur tout circuit fermé. Condition nécessaire (\(\mathcal C^1\)) : \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\) ; suffisante si le domaine est simplement connexe (lemme de Poincaré).
Théorèmes intégraux
\(D\) compact du plan, à bord \(\partial D\) régulier par morceaux, parcouru dans le sens direct (domaine à gauche).
Principe du planimètre. En polaires : \(\mathcal A=\frac12\int_{\theta_1}^{\theta_2}\rho(\theta)^{2}d\theta\).
Orientation cohérente entre \(\vec n\) et le sens de parcours de \(\partial S\) (règle de la main droite).
\(\vec n\) : normale sortante. \(\operatorname{div}\vec V=\partial_xP+\partial_yQ+\partial_zR\).
Section 12
Applications géométriques et physiques
Longueurs, aires, volumes
Découper aux points d'intersection pour retirer la valeur absolue.
Formes cartésienne, paramétrée et polaire.
Couronnes : \(V=\pi\int_a^b\big(f^2-g^2\big)dx\) si \(0\le g\le f\).
\(d_G\) = distance de l'axe au centre de gravité de la courbe (resp. de la surface) engendrant la surface (resp. le volume). L'axe ne doit pas couper la figure.
Grandeurs physiques
Plaque plane homogène sous une courbe : \(x_G=\frac{1}{\mathcal A}\int_a^b x f(x)dx\), \(y_G=\frac{1}{2\mathcal A}\int_a^b f(x)^2dx\).
\(r\) = distance à l'axe \(\Delta\). Théorème de Huygens : \(I_\Delta=I_{\Delta_G}+M d^{2}\).
Pour \(f(t)=A\sin(\omega t)\) : \(f_{\text{eff}}=A/\sqrt2\).
Loi normale : \(f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\) — la normalisation vient de l'intégrale de Gauss (§07).
Section 13
Méthodes numériques
Notations : \(h=\dfrac{b-a}{n}\), \(x_k=a+kh\), \(f_k=f(x_k)\). Les majorations d'erreur supposent \(f\) suffisamment régulière sur \([a,b]\).
Ordre 1. Encadrent l'intégrale si \(f\) est monotone.
Ordre 2 pour le coût d'une méthode d'ordre 1 : exacte pour les polynômes de degré \(\le1\).
Ordre 2. Surestime l'intégrale si \(f\) est convexe.
\(n\) pair. Ordre 4 : exacte pour les polynômes de degré \(\le3\). Forme élémentaire : \(\int_\alpha^\beta f\approx\frac{\beta-\alpha}{6}\left[f(\alpha)+4f\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+f(\beta)\right]\).
Simpson est la moyenne pondérée du point milieu et des trapèzes. Romberg extrapole la suite des trapèzes : convergence extrêmement rapide pour \(f\) de classe \(\mathcal C^\infty\).
\(t_i\) : racines du polynôme de Legendre \(P_n\) ; \(w_i=\dfrac{2}{(1-t_i^{2})P_n'(t_i)^{2}}\). Passage à \([a,b]\) : \(t\mapsto\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t\), facteur \(\frac{b-a}{2}\).
\(n=2\) : \(t=\pm\frac{1}{\sqrt3}\), \(w=1\). \(n=3\) : \(t=0,\pm\sqrt{3/5}\), \(w=\frac89,\frac59\).
\(X_i\) uniformes i.i.d. sur \(D\). L'erreur en \(N^{-1/2}\) est indépendante de la dimension : méthode de choix au-delà de la dimension 4.
Section 14
Pièges et cas limites
La plupart des erreurs en calcul intégral ne sont pas des erreurs de calcul, mais des hypothèses non vérifiées.
Le résultat \(-2\) est absurde pour une fonction positive : \(1/x^2\) n'est pas définie en \(0\) et l'intégrale diverge. Toujours vérifier la continuité sur tout le segment avant d'appliquer Newton–Leibniz.
\(x\mapsto x^{2}\) n'est pas injective sur \([-1,1]\). Il faut couper en \(0\), ou choisir une substitution monotone sur tout l'intervalle.
La substitution \(u=\tan x\) ne vaut que sur \(\left]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right[\). Sur \(\mathbb R\), la vraie primitive continue s'obtient en ajoutant \(\frac{k\pi}{\sqrt2}\) sur chaque intervalle. Une primitive discontinue est fausse.
L'équivalence n'est un critère que pour des fonctions de signe constant au voisinage de la borne (§06).
Contre-exemple canonique au théorème de convergence dominée sans fonction dominante intégrable.
Aucune de ces fonctions n'admet de primitive exprimable par composition finie de fonctions élémentaires. Ce n'est pas un manque de technique : c'est un théorème (Liouville, 1835). On les nomme (§08) ou on les calcule numériquement (§13).
Le contrôle le plus rapide et le plus fiable : dériver la primitive obtenue et vérifier qu'on retombe sur \(f\). Contrôle de cohérence complémentaire : signe, ordre de grandeur, homogénéité, cas particuliers (\(a=0\), \(n=1\)).