Le Second Degré

Étude exhaustive, rigoureuse et simplifiée du trinôme du second degré

1. Définition et Vocabulaire

Définition On appelle fonction polynôme du second degré (ou trinôme du second degré) toute fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) pouvant s'écrire sous la forme : \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des nombres réels, avec la condition stricte \( a \neq 0 \).
  • Le réel \( a \) est le coefficient dominant. (Si \( a = 0 \), la fonction devient affine : \( f(x) = bx + c \)).
  • Le terme \( ax^2 \) est le terme de degré 2, \( bx \) le terme de degré 1, et \( c \) le terme constant.

2. Forme Canonique

Toute fonction du second degré peut s'écrire sous une forme mettant en évidence les coordonnées de l'extremum de sa courbe.

Théorème Pour tout réel \( x \), le trinôme \( ax^2 + bx + c \) peut s'écrire sous la forme : \[ f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \] Cette écriture s'appelle la forme canonique. Les réels \( \alpha \) et \( \beta \) sont donnés par : \[ \alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha) \]

Démonstration (Méthode de complétion du carré) :

\( ax^2 + bx + c = a \left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c \)
On reconnaît le début de l'identité remarquable \( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} \).
Donc : \( a \left[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \right] + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \).

3. Équations et Discriminant

Chercher les racines du trinôme, c'est résoudre l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \).

Définition On appelle discriminant du trinôme \( ax^2 + bx + c \) le nombre réel noté \( \Delta \) (Delta) défini par : \[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Le nombre de solutions dans \( \mathbb{R} \) dépend strictement du signe de \( \Delta \).

Signe de \( \Delta \) Nombre de solutions (racines) Formules des solutions
\( \Delta < 0 \) 0 racine réelle Aucune solution dans \( \mathbb{R} \)*
\( \Delta = 0 \) 1 racine réelle double (\( x_0 \)) \( x_0 = -\frac{b}{2a} \)
\( \Delta > 0 \) 2 racines réelles distinctes (\( x_1, x_2 \)) \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad ; \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)

*Note : Pour être exhaustif, dans l'ensemble des nombres complexes \( \mathbb{C} \), si \( \Delta < 0 \), l'équation admet deux racines complexes conjuguées : \( \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} \).

4. Factorisation du Trinôme

Selon les racines trouvées précédemment, le polynôme peut être factorisé.

Propriété
  • Si \( \Delta > 0 \) : \( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)
  • Si \( \Delta = 0 \) : \( f(x) = a(x - x_0)^2 \)
  • Si \( \Delta < 0 \) : \( f(x) \) est irréductible dans \( \mathbb{R} \) (impossible à factoriser en produit de polynômes de degré 1).

5. Signe du Trinôme

Étudier le signe de \( ax^2 + bx + c \) est indispensable pour résoudre des inéquations du second degré. La règle fondamentale est la suivante :

Règle du signe Un trinôme du second degré est toujours du signe de \( a \) sauf à l'intérieur de l'intervalle formé par ses racines (lorsqu'elles existent).
  • Si \( \Delta < 0 \) : Le trinôme n'a pas de racine. Il est toujours du signe de \( a \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
  • Si \( \Delta = 0 \) : Le trinôme s'annule en \( x_0 \). Il est du signe de \( a \) sur \( \mathbb{R} \setminus \{x_0\} \).
  • Si \( \Delta > 0 \) : Le trinôme a deux racines \( x_1 \) et \( x_2 \) (supposons \( x_1 < x_2 \)).
    • Signe de \( a \) sur \( ]-\infty ; x_1[ \cup ]x_2 ; +\infty[ \) (à l'extérieur des racines)
    • Signe opposé à \( a \) sur \( ]x_1 ; x_2[ \) (entre les racines)

6. Représentation Graphique

La courbe représentative d'une fonction du second degré \( f(x) = ax^2 + bx + c \) est une parabole.

Caractéristiques géométriques
  • Orientation :
    • Si \( a > 0 \), la parabole est orientée vers le haut (elle forme un "U", la fonction admet un minimum).
    • Si \( a < 0 \), la parabole est orientée vers le bas (elle forme un "pont", la fonction admet un maximum).
  • Sommet : Le sommet \( S \) de la parabole a pour coordonnées \( S(\alpha, \beta) \), correspondant aux valeurs de la forme canonique.
  • Axe de symétrie : La droite d'équation \( x = \alpha \) (droite verticale passant par le sommet) est l'axe de symétrie de la parabole.
  • Intersection avec l'axe des ordonnées : La parabole coupe l'axe vertical au point de coordonnées \( (0, c) \).

7. Somme et Produit des Racines

Lorsque le trinôme admet deux racines \( x_1 \) et \( x_2 \) (c'est-à-dire si \( \Delta \ge 0 \)), il existe une relation directe entre ces racines et les coefficients \( a, b, c \).

Théorème La somme \( S \) et le produit \( P \) des racines sont donnés par : \[ S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ P = x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \]

Utilité pratique : Ces formules permettent de :

  1. Trouver mentalement une racine évidente. (Exemple : si \( a+b+c = 0 \), alors 1 est racine. L'autre est \( c/a \)).
  2. Trouver deux nombres connaissant leur somme \( S \) et leur produit \( P \). Ces nombres sont les solutions de l'équation : \( X^2 - SX + P = 0 \).