Un cercle de rayon 1,
une abscisse,
une ordonnée.

Le radian est la mesure de l'angle interceptant un arc de longueur égale au rayon. Longueur d'arc : \(\ell=R\theta\) ; aire de secteur : \(\mathcal A=\tfrac12R^{2}\theta\) — uniquement en radians.

Calcul pratique : \(\theta_0=\theta-2\pi\left\lfloor\dfrac{\theta+\pi}{2\pi}\right\rfloor\).

Domaines : \(\tan,\sec\) définies pour \(\theta\neq\frac\pi2+k\pi\) ; \(\cot,\csc\) pour \(\theta\neq k\pi\). Interprétation : \(\tan\theta\) est l'ordonnée du point d'intersection de la droite \((OM)\) avec la tangente au cercle en \((1,0)\).

Moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA. Valable seulement pour \(\widehat A\in\,]0,\frac\pi2[\) ; le cercle unité étend les définitions à \(\mathbb R\).

C'est l'équation du cercle unité \(x^{2}+y^{2}=1\). Conséquences : \(|\cos\theta|\le1\) et \(|\sin\theta|\le1\).

Obtenues en divisant l'identité fondamentale par \(\cos^{2}\theta\) puis \(\sin^{2}\theta\).

Le signe \(\varepsilon\) ne peut pas être omis : \(\tan\) ne détermine l'angle qu'à \(\pi\) près.

Le signe se lit sur le quadrant d'arrivée en supposant \(\theta\) petit et positif. Exemple : \(\frac\pi2+\theta\) tombe dans le quadrant II, où le cosinus est négatif, donc \(\cos\left(\frac\pi2+\theta\right)=-\sin\theta\).

Le cosinus se lit dans l'ordre inverse (\(n=4,3,2,1,0\)).

Ces valeurs découlent de \(\cos 2\theta=\cos 3\theta\) pour \(\theta=\frac{2\pi}{5}\), et fondent la constructibilité du pentagone régulier à la règle et au compas.

Le signe est opposé à celui de la somme : c'est l'erreur la plus fréquente.

Sous réserve que \(a\), \(b\) et \(a\pm b\) évitent \(\frac\pi2+k\pi\), et que le dénominateur ne s'annule pas.

Les trois formes de \(\cos 2a\) servent selon ce qu'on veut éliminer.

Formules de linéarisation les plus utilisées en intégration.

Les valeurs absolues sont indispensables : le signe dépend du quadrant de \(\frac a2\). Les deux expressions de \(\tan\frac a2\) en sont exemptes.

Bijection de \(]-\pi,\pi[\) sur \(\mathbb R\) ; exclut \(a=\pi\). Base du changement de variable universel en intégration et du paramétrage rationnel du cercle (triplets pythagoriciens).

En développant par le binôme : \(\cos na=\sum_{k\ \text{pair}}\binom nk(-1)^{k/2}\cos^{n-k}a\,\sin^{k}a\), et de même pour \(\sin na\) avec les indices impairs.

\(T_2=2X^{2}-1\), \(T_3=4X^{3}-3X\), \(T_4=8X^{4}-8X^{2}+1\). Racines de \(T_n\) : \(\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\).

Idem pour le sinus : moyen de calcul rapide sans développer les puissances.

Retenir : le produit de deux fonctions de même nature donne des cosinus, de natures différentes des sinus.

Se retrouve en développant \(\left(\frac{e^{ia}+e^{-ia}}{2}\right)^{2p}\) par le binôme puis en regroupant les termes conjugués.

Attention au signe moins de la dernière. Ces formules transforment une équation « somme nulle » en équation produit, donc en union de cas simples (§04).

\(\varphi=\operatorname{atan2}(b,a)\). Forme équivalente : \(R\sin(x+\psi)\) avec \(\psi=\frac\pi2-\varphi\). Conséquence immédiate : l'expression est bornée par \(\pm R\), et l'équation \(a\cos x+b\sin x=c\) n'a de solution que si \(|c|\le R\).

Idem avec \(\sin\) en remplaçant le facteur \(\cos\) final par \(\sin\). Se démontre via \(\sum e^{i(a+kb)}\) et la factorisation par l'arc moitié.

La première est la formule de Viète ; la seconde donne le nombre d'arbres couvrants du graphe cycle.

Les deux solutions sont symétriques par rapport à l'axe \(Ox\). Forme compacte : \(x\equiv\pm a\ [2\pi]\).

Symétrie par rapport à l'axe \(Oy\).

Une seule famille, car \(\tan\) est \(\pi\)-périodique. Ne pas oublier la condition d'existence \(x\neq\frac\pi2+k\pi\).

Aucune solution si \(|m|>1\). \(\tan x=m\iff x=\arctan m+k\pi\), pour tout \(m\in\mathbb R\).

Solutions si et seulement si \(|c|\le R\) : \(x=\varphi\pm\arccos\frac cR+2k\pi\). Méthode alternative : \(t=\tan\frac x2\) ramène à une équation du second degré, mais perd la solution \(x=\pi+2k\pi\), à tester séparément.

Stratégie générale : tout ramener à \(0\), factoriser par les formules somme→produit (§03), puis annuler chaque facteur.

Toujours résoudre sur le cercle : repérer l'arc solution, puis translater de \(2k\pi\).

Vaut \(+\frac\pi2\) si \(x>0\), \(-\frac\pi2\) si \(x<0\). Le signe ne peut pas être omis.

La racine est positive car l'image de \(\arccos\) est \([0,\pi]\) (sinus positif) et celle de \(\arcsin\) est \(\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\) (cosinus positif).

Si \(ab=1\), la somme vaut \(\pm\frac\pi2\). Le terme \(\varepsilon\pi\) est la source d'erreur classique.

Associées à la série \(\arctan x=\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}\) (\(|x|\le1\)), elles ont fourni les premiers calculs rapides des décimales de \(\pi\).

Contrairement à \(\arctan\frac yx\), elle distingue les quatre quadrants. Indispensable en conversion cartésien → polaire.

\(\operatorname{ch}\) est paire, \(\operatorname{sh}\) et \(\operatorname{th}\) impaires. \(\operatorname{ch} x\ge1\), \(|\operatorname{th} x|<1\). Notations anglo-saxonnes : \(\cosh,\sinh,\tanh\).

Exemple : \(\cos^{2}+\sin^{2}=1\) devient \(\operatorname{ch}^{2}-\operatorname{sh}^{2}=1\). Attention : \(\tan^{2}\) compte comme un produit de deux sinus.

La règle d'Osborn n'est que la traduction réelle de ces substitutions.

Aucun signe négatif, contrairement au cas circulaire : \(\operatorname{ch}\) et \(\operatorname{sh}\) s'échangent sans alternance.

Le paramètre \(t\) est le double de l'aire du secteur hyperbolique — exactement comme \(\theta\) est le double de l'aire du secteur circulaire.

Forme d'équilibre d'un fil pesant homogène suspendu entre deux points — première application physique historique de \(\operatorname{ch}\).

Cette dernière égalité contient les formules d'addition : il suffit d'identifier parties réelle et imaginaire.

Outil de linéarisation : développer par le binôme puis regrouper les exponentielles conjuguées.

Outil d'anti-linéarisation : exprimer \(\cos n\theta\) en polynôme de \(\cos\theta\) (§02).

Technique clé pour sommer des séries trigonométriques et retrouver les formules somme→produit.

Elles forment les sommets d'un polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans le cercle unité.

Sur \(\mathbb C\), \(\cos\) et \(\sin\) ne sont plus bornés : \(|\cos(iy)|=\operatorname{ch} y\to+\infty\).

En identifiant les coefficients, on obtient \(\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6}\) — le problème de Bâle.

Rayon de convergence infini. Versions hyperboliques : mêmes séries sans le facteur \((-1)^{n}\).

La minoration \(\frac2\pi x\) est l'inégalité de Jordan, essentielle dans les lemmes de convergence. Par ailleurs \(|\sin a-\sin b|\le|a-b|\) (fonction 1-lipschitzienne).

Toute la trigonométrie peut être définie à partir de cette équation, indépendamment de la géométrie.

Cas d'usage : on connaît un côté et deux angles, ou deux côtés et un angle non compris (attention : ce dernier cas peut donner deux triangles).

Généralise Pythagore, retrouvé pour \(A=\frac\pi2\). Cas d'usage : trois côtés connus, ou deux côtés et l'angle compris.

Elles font intervenir les six éléments du triangle : excellent contrôle de cohérence d'une résolution.

\(I\) milieu de \([BC]\). Formulation vectorielle du théorème d'Al-Kashi.

Ne nécessite que les trois côtés. Numériquement instable pour les triangles très aplatis ; préférer alors la forme de Kahan avec côtés triés.

Toutes les racines sont positives car \(\frac A2\in\left]0,\frac\pi2\right[\).

\(O\) centre du cercle circonscrit, \(I\) du cercle inscrit. Égalité si et seulement si le triangle est équilatéral.

La première suppose le triangle non rectangle.

Pour de petits côtés, un développement limité redonne Al-Kashi : \(a^{2}\approx b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\).

Sur la sphère, les trois angles déterminent le triangle : il n'existe pas de triangles semblables non isométriques.

Théorème de Girard. La somme des angles dépasse \(\pi\) : c'est la signature de la courbure positive.

\(\varphi\) latitude, \(\lambda\) longitude. Pour de petites distances, préférer la formule du haversine, numériquement stable : \(d=2R\arcsin\sqrt{\sin^{2}\frac{\Delta\varphi}{2}+\cos\varphi_1\cos\varphi_2\sin^{2}\frac{\Delta\lambda}{2}}\).

\(A\) amplitude, \(\varphi\) phase à l'origine, \(\omega\) pulsation (rad·s⁻¹), \(f\) fréquence (Hz), \(T\) période (s).

Pour un signal sinusoïdal pur. Redressement double alternance : \(\langle|s|\rangle=\frac{2A}{\pi}\).

C'est la loi d'Al-Kashi appliquée aux vecteurs de Fresnel — d'où les interférences constructives (\(\Delta\varphi=0\)) et destructives (\(\Delta\varphi=\pi\)).

Deux fréquences proches produisent une porteuse de fréquence moyenne modulée à la fréquence \(\frac{|f_1-f_2|}{2}\) ; le battement audible est à \(|f_1-f_2|\).

\(f\) est paire \(\Rightarrow\) tous les \(b_n\) sont nuls ; impaire \(\Rightarrow\) tous les \(a_n\) sont nuls.

\(m,n\ge1\). Ce sont ces relations qui donnent les formules des coefficients.

Interprétation physique : la puissance moyenne est la somme des puissances des harmoniques.

En \(t=\frac\pi2\) : \(\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\dots\) (série de Leibniz).

Toute identité douteuse se teste en 10 secondes : poser \(a=b=\frac\pi6\) et comparer les deux membres à la calculatrice. Un contre-exemple numérique suffit à réfuter ; l'accord ne prouve rien mais élimine 90 % des erreurs de signe.