Un point devient deux nombres, et tout se calcule.
Descartes a transformé la géométrie en algèbre : une droite n'est plus un trait, c'est une équation ; une longueur n'est plus une mesure, c'est une racine carrée. Cette page reprend l'intégralité de la géométrie analytique plane — coordonnées, pentes, équations de droites, distances — avec les démonstrations complètes et les hypothèses toujours explicitées.
Repères et coordonnées
Coefficient directeur
Équations cartésienne, réduite, paramétrique
Distances et cercle
Parallélisme et orthogonalité
Distance point-droite
Figure 1 — la droite ABFaites glisser A et B · flèches du clavier au focus
§1
Le plan rapporté à un repère
Coordonnées cartésiennes · vecteurs · milieu
Toute la géométrie analytique repose sur une seule idée : associer à chaque point du plan un couple de nombres, de façon bijective. Cette association n'est pas donnée par la nature du plan ; elle résulte d'un choix, celui du repère. Changer de repère change toutes les coordonnées, et — c'est le point le plus souvent oublié — change aussi la validité de certaines formules.
Définition 1.1 — repère du plan
Un repère du plan est un triplet (O ; ı, ȷ) où O est un point appelé origine et où ı, ȷ sont deux vecteurs non colinéaires du plan.
On distingue trois degrés de spécialisation :
Repère quelconque : ı et ȷ sont seulement non colinéaires.
Repère orthogonal : de plus ı⊥ȷ.
Repère orthonormé (ou orthonormal) : de plus ‖ı‖ = ‖ȷ‖ = 1.
Théorème 1.2 — existence et unicité des coordonnées
Soit (O ; ı, ȷ) un repère. Pour tout point M du plan, il existe un unique couple (x ; y) de réels tel que
OM = xı + yȷ
Le réel x est l'abscisse de M, le réel y son ordonnée. On note M(x ; y).
Démonstration
Existence. Comme ı et ȷ ne sont pas colinéaires, ils forment une base du plan vectoriel, qui est de dimension 2 ; tout vecteur, en particulier OM, se décompose donc sur cette base.
Unicité. Supposons xı + yȷ = x′ı + y′ȷ. Alors (x − x′)ı = (y′ − y)ȷ. Si x ≠ x′, on pourrait écrire ı = y′ − yx − x′ȷ, ce qui rendrait les deux vecteurs colinéaires : contradiction. Donc x = x′, puis (y′ − y)ȷ = 0 et, ȷ étant non nul, y = y′. ∎
1.1 — Coordonnées d'un vecteur
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), la relation de Chasles AB = AO + OB = OB − OA donne immédiatement :
AB(xB − xA;yB − yA)Valable dans tout repère, même non orthogonal.
Deux règles en découlent, tout aussi générales :
Égalité :u = v si et seulement si leurs coordonnées sont égales deux à deux.
Colinéarité :u(x ; y) et v(x′ ; y′) sont colinéaires si et seulement si leur déterminantxy′ − yx′ est nul.
1.2 — Milieu d'un segment
Théorème 1.3
Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées
xI = xA + xB2yI = yA + yB2
Démonstration
I est le milieu de [AB] si et seulement si AI = 12AB. En passant aux coordonnées : xI − xA = 12(xB − xA), d'où xI = xA + xB − xA2 = xA + xB2. Idem pour l'ordonnée. ∎
Généralisation — point partageant un segment
Le point P tel que AP = tAB a pour coordonnées xP = (1 − t)xA + t xB et yP = (1 − t)yA + t yB. Le milieu correspond à t = ½ ; le centre de gravité d'un triangle s'obtient de même comme moyenne arithmétique des trois sommets.
Attention — ce qui dépend du repère
Les résultats ci-dessus (coordonnées d'un vecteur, colinéarité, milieu) sont affines : ils sont vrais dans n'importe quel repère. En revanche, tout ce qui suit dans le §2 et le §6 — longueurs, angles, orthogonalité — n'est vrai que dans un repère orthonormé. Cette distinction n'est pas un détail formel : dans un repère oblique, la « formule de la distance » donne un résultat faux.
§2
Longueurs et distances
Norme · distance entre deux points · cercle
Théorème 2.1 — distance entre deux points
Dans un repère orthonormé, pour A(xA ; yA) et B(xB ; yB) :
AB = ‖AB‖ = (xB − xA)2 + (yB − yA)2Hypothèse indispensable : le repère est orthonormé.
Démonstration
Notons H le point de coordonnées (xB ; yA). Le repère étant orthonormé, la droite (AH) est parallèle à l'axe des abscisses et (HB) à l'axe des ordonnées ; ces deux axes étant perpendiculaires, le triangle AHB est rectangle en H.
Comme les vecteurs de base sont unitaires, les longueurs se lisent directement sur les coordonnées : AH = |xB − xA| et HB = |yB − yA|.
Le théorème de Pythagore donne AB2 = AH2 + HB2 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2. Une longueur étant positive, on conclut en prenant la racine carrée. Le cas dégénéré A = H ou H = B se vérifie directement. ∎
Les carrés dans la formule rendent inutile tout souci d'ordre : (xB − xA)2 = (xA − xB)2. On retrouve ainsi la symétrie AB = BA. Plus généralement, la distance vérifie les trois axiomes d'une distance au sens mathématique :
Séparation :AB ≥ 0, et AB = 0 ⟺A = B (une somme de carrés est nulle si et seulement si chaque carré l'est) ;
Symétrie :AB = BA ;
Inégalité triangulaire :AC ≤ AB + BC, avec égalité si et seulement si B appartient au segment [AC].
2.1 — Équation cartésienne d'un cercle
La distance étant l'outil de base, le cercle s'écrit sans effort. Le cercle 𝒞 de centre Ω(a ; b) et de rayon r ≥ 0 est l'ensemble des points M tels que ΩM = r, soit ΩM2 = r2 (les deux membres étant positifs, élever au carré est une équivalence) :
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Réciproque — forme développée
Une équation du type x2 + y2 + αx + βy + γ = 0 se ramène par complétion des carrés à (x + α/2)2 + (y + β/2)2 = α2 + β2 − 4γ4.
Selon le signe du second membre, l'ensemble solution est un cercle (positif), un point unique (nul), ou l'ensemble vide (négatif). Écrire « c'est un cercle » sans discuter ce signe est une faute de rigueur.
La pente mesure la vitesse à laquelle une droite monte quand on avance vers la droite. C'est un nombre unique attaché à la droite — mais il n'existe pas toujours.
Définition 3.1 — coefficient directeur
Soit d une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, et A(xA ; yA), B(xB ; yB) deux points distincts de d. On a alors xA ≠ xB et le coefficient directeur (ou pente) de d est
m = yB − yAxB − xA = ΔyΔxUne droite verticale n'a pas de pente : le quotient n'est pas défini.
Démonstration — la définition est licite (indépendance du choix des points)
Soient A, B et A′, B′ deux couples de points distincts de d. Les vecteurs AB et A′B′ dirigent la même droite : ils sont colinéaires, donc leur déterminant est nul :
(xB − xA)(yB′ − yA′) − (yB − yA)(xB′ − xA′) = 0
Puisque d n'est pas verticale, xB − xA ≠ 0 et xB′ − xA′ ≠ 0 ; on peut diviser par leur produit, ce qui donne exactement
yB′ − yA′xB′ − xA′ = yB − yAxB − xA
Le nombre m ne dépend donc que de la droite. ∎
Figure 2 — l'escalier de la penteRéglez m et p : la marche vaut toujours 1 en largeur
3.1 — Lecture du signe
Valeur de m
Comportement de la droite
Variation de la fonction affine
m > 0
monte de la gauche vers la droite
strictement croissante
m = 0
horizontale, parallèle à l'axe des abscisses
constante
m < 0
descend de la gauche vers la droite
strictement décroissante
m non défini
verticale, parallèle à l'axe des ordonnées
n'est pas le graphe d'une fonction
3.2 — Pente et angle
Théorème 3.2
Dans un repère orthonormé, si θ ∈ ]−π/2 ; π/2[ désigne l'angle orienté que fait la droite avec l'axe des abscisses, alors
m = tan θ
Démonstration
Le vecteur u(1 ; m) dirige la droite. Dans un repère orthonormé, l'angle θ qu'il forme avec ı(1 ; 0) vérifie cos θ = 11 + m2 et sin θ = m1 + m2. Le quotient donne tan θ = m. ∎
Attention — la pente n'est pas un angle
La correspondance m ↦ θ est fortement non linéaire. Doubler la pente ne double pas l'inclinaison : m = 1 correspond à 45°, mais m = 2 correspond à ≈ 63,4° et non à 90°. Une pente de 100 % en travaux publics signifie m = 1, soit 45°, et non « la verticale ».
§4
Les équations d'une droite
Cartésienne · réduite · paramétrique · normale
Une même droite admet plusieurs écritures. Chacune met en avant une information différente : la forme cartésienne exhibe un vecteur normal, la forme réduite exhibe la pente, la forme paramétrique exhibe un vecteur directeur. Savoir passer de l'une à l'autre est l'essentiel du savoir-faire.
4.1 — Caractérisation vectorielle
Soit d la droite passant par A(xA ; yA) et dirigée par le vecteur non nul u(α ; β). Par définition :
M(x ; y) ∈ d⟺AM et u sont colinéaires ⟺(x − xA)β − (y − yA)α = 0
Théorème 4.1 — équation cartésienne
Toute droite du plan admet une équation de la forme
ax + by + c = 0avec (a ; b) ≠ (0 ; 0)
Réciproquement, tout ensemble de points vérifiant une telle équation, avec (a ; b) ≠ (0 ; 0), est une droite. De plus :
u(−b ; a) est un vecteur directeur de cette droite ;
dans un repère orthonormé, n(a ; b) est un vecteur normal (orthogonal à la droite).
Démonstration
Sens direct. En développant l'équivalence ci-dessus : βx − αy + (αyA − βxA) = 0. On pose a = β, b = −α, c = αyA − βxA. Comme u est non nul, (α ; β) ≠ (0 ; 0), donc (a ; b) ≠ (0 ; 0).
Réciproque. Soit ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠ (0 ; 0). Cette équation admet au moins une solution : si a ≠ 0, le point A(−c/a ; 0) convient ; sinon b ≠ 0 et A(0 ; −c/b) convient. En soustrayant axA + byA + c = 0 de ax + by + c = 0, on obtient a(x − xA) + b(y − yA) = 0, c'est-à-dire l'annulation du déterminant de AM et de u(−b ; a). L'ensemble solution est donc exactement la droite passant par A dirigée par u, ce vecteur étant non nul. ∎
Unicité — à un facteur près seulement
Si ax + by + c = 0 est une équation de d, alors pour tout réel k ≠ 0, kax + kby + kc = 0 est une équation de la même droite. Les équations 2x − 4y + 6 = 0 et x − 2y + 3 = 0 décrivent la même droite. On convient souvent de normaliser en prenant des coefficients entiers, premiers entre eux dans leur ensemble, et de premier coefficient non nul positif : c'est la convention utilisée dans les figures de cette page.
4.2 — Forme réduite
Théorème 4.2 — dichotomie
Soit d une droite d'équation ax + by + c = 0.
Si b ≠ 0, d n'est pas verticale et admet l'unique équation réduitey = mx + p avec m = −ab et p = −cb.
Le réel p est l'ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
Si b = 0, alors a ≠ 0 et d est la droite verticale d'équation x = −c/a. Elle n'a pas de pente et n'est le graphe d'aucune fonction.
Contrairement à l'équation cartésienne, l'équation réduite est unique lorsqu'elle existe : c'est ce qui en fait l'outil de comparaison privilégié entre deux droites non verticales.
4.3 — Les recettes usuelles
Données
Équation obtenue
Condition
Point A et pente m
y − yA = m(x − xA)
droite non verticale
Points A et B
y − yA = yB − yAxB − xA(x − xA)
xA ≠ xB
Points A et B (cas général)
(yB − yA)(x − xA) − (xB − xA)(y − yA) = 0
A ≠ B uniquement
Point A et vecteur normal n(a ; b)
a(x − xA) + b(y − yA) = 0
repère orthonormé
Intersections avec les axes (q ; 0) et (0 ; p)
xq + yp = 1
p ≠ 0, q ≠ 0
Conseil — la ligne à retenir
La troisième ligne du tableau est la seule qui ne demande aucune précaution : elle traite indifféremment les droites verticales et les autres. Quand on ne veut pas discuter de cas, c'est celle-là qu'il faut écrire.
4.4 — Représentation paramétrique
La droite passant par A(xA ; yA) et dirigée par u(α ; β) est l'ensemble des points M tels que AM = tu pour un réel t, d'où :
x = xA + αt y = yA + βtt parcourt ℝ
Cette forme est la plus souple : elle s'étend telle quelle à l'espace, elle décrit aussi bien les segments (t ∈ [0 ; 1]) et les demi-droites (t ≥ 0), et elle porte une information cinématique — la position à l'instant t. On élimine t pour revenir au cartésien.
4.5 — Forme normale de Hesse
En divisant ax + by + c = 0 par a2 + b2 (non nul), on obtient une équation dont le vecteur normal est unitaire :
x cos φ + y sin φ − h = 0où h ≥ 0 est la distance de l'origine à la droite
Cette normalisation est ce qui rend la formule de la distance point-droite du §6 immédiate.
§5
Positions relatives de deux droites
Parallélisme · orthogonalité · intersection
Soient d : ax + by + c = 0 et d′ : a′x + b′y + c′ = 0. Tout se joue sur un seul nombre, le déterminant D = ab′ − a′b.
Théorème 5.1 — parallélisme
d et d′ sont parallèles si et seulement si ab′ − a′b = 0. Avec les équations réduites y = mx + p et y = m′x + p′, cela équivaut à m = m′.
Si D = 0 et les triplets (a ; b ; c), (a′ ; b′ ; c′) sont proportionnels : les droites sont confondues (une infinité de points communs).
Si D = 0 sans cette proportionnalité : les droites sont strictement parallèles (aucun point commun).
Si D ≠ 0 : les droites sont sécantes en un unique point.
Démonstration
Des vecteurs directeurs sont u(−b ; a) et u′(−b′ ; a′). Le parallélisme équivaut à leur colinéarité, donc à l'annulation de leur déterminant : (−b)(a′) − (a)(−b′) = ab′ − a′b = 0. La discussion des trois cas résulte de la résolution du système linéaire correspondant (règle de Cramer). ∎
Théorème 5.2 — orthogonalité
Dans un repère orthonormé :
d ⊥ d′⟺aa′ + bb′ = 0
Si de plus les deux droites admettent des pentes m et m′ (aucune des deux n'est verticale) :
d ⊥ d′⟺m × m′ = −1Critère inapplicable si l'une des droites est verticale.
Démonstration
Les vecteurs normaux sont n(a ; b) et n′(a′ ; b′). Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs normales le sont, ce qui, en repère orthonormé, équivaut à l'annulation du produit scalaire n·n′ = aa′ + bb′.
Si b ≠ 0 et b′ ≠ 0, on a m = −a/b et m′ = −a′/b′, donc mm′ = aa′bb′. La condition aa′ + bb′ = 0 se réécrit aa′ = −bb′, soit mm′ = −1. ∎
Attention — le cas vertical
L'axe des abscisses (y = 0, pente 0) et l'axe des ordonnées (x = 0, pente non définie) sont perpendiculaires, alors que le produit mm′ n'a aucun sens. Le critère aa′ + bb′ = 0, lui, reste valable : 0×1 + 1×0 = 0. C'est pour cette raison que le critère par les coefficients cartésiens est supérieur au critère par les pentes.
5.1 — Calcul du point d'intersection
Lorsque D = ab′ − a′b ≠ 0, le système admet une solution unique, donnée par les formules de Cramer :
x = bc′ − b′cab′ − a′by = a′c − ac′ab′ − a′b
En pratique, sur des exemples numériques, on préfère la substitution ou la combinaison linéaire ; ces formules servent surtout à établir l'existence et l'unicité de manière générale.
§6
Distance d'un point à une droite
Projeté orthogonal · formule · applications
Définition 6.1
La distance du point M à la droite d est le minimum des distances MP lorsque P parcourt d. Ce minimum existe et est atteint en un unique point : le projeté orthogonalH de M sur d.
Théorème 6.2 — formule de la distance
Dans un repère orthonormé, la distance du point M(x0 ; y0) à la droite d : ax + by + c = 0 vaut
d(M, d) = |ax0 + by0 + c|a2 + b2
Démonstration
Soit H le projeté orthogonal de M sur d et n(a ; b) le vecteur normal. Les vecteurs HM et n sont colinéaires, donc
|HM · n| = ‖HM‖ × ‖n‖ = d(M, d) × a2 + b2
Par ailleurs, en calculant ce produit scalaire par les coordonnées :
Or H ∈ d, donc axH + byH + c = 0, c'est-à-dire axH + byH = −c. Il vient HM · n = ax0 + by0 + c. En égalant les deux expressions et en divisant par a2 + b2 (non nul car (a ; b) ≠ (0 ; 0)), on obtient la formule annoncée. ∎
Figure 3 — le projeté orthogonalDéplacez M, ainsi que P et Q qui définissent la droite
Coordonnées du projeté
En posant k = ax0 + by0 + ca2 + b2, le projeté orthogonal est H(x0 − ka ; y0 − kb), et le symétrique de M par rapport à d est M′(x0 − 2ka ; y0 − 2kb).
Le signe compte aussi
La quantité signée ax0 + by0 + ca2 + b2 est la distance algébrique. Deux points sont dans le même demi-plan de bord d si et seulement si ax + by + c prend la même signe en ces deux points. C'est le fondement des inéquations à deux inconnues et de la programmation linéaire.
§7
Droites remarquables du triangle
Médiane · médiatrice · hauteur · bissectrice
Ces quatre objets constituent l'application la plus classique de tout ce qui précède. Chacun se traduit en une équation par une méthode différente, ce qui en fait un excellent test de maîtrise.
Objet
Définition
Méthode analytique
Médiane issue de A
droite joignant A au milieu de [BC]
calculer le milieu I de [BC], puis écrire la droite (AI)
Médiatrice de [AB]
ensemble des points équidistants de A et B
passe par le milieu de [AB] et admet AB pour vecteur normal ; ou résoudre MA2 = MB2
Hauteur issue de A
droite passant par A et perpendiculaire à (BC)
passe par A et admet BC pour vecteur normal
Bissectrice
ensemble des points équidistants des deux côtés
égaler les deux distances point-droite en valeur absolue, puis discuter le signe
Le réflexe du vecteur normal
Médiatrice et hauteur se traitent en une ligne dès qu'on pense « vecteur normal » : la droite passant par A(xA ; yA) et de vecteur normal n(a ; b) a pour équation a(x − xA) + b(y − yA) = 0. Passer par les pentes et la relation mm′ = −1 est plus long et échoue sur les cas verticaux.
Aire d'un triangle
Une conséquence directe du §6 : l'aire du triangle ABC vaut 12BC × d(A, (BC)), ce qui se simplifie en
𝒜 = 12|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA)|
c'est-à-dire la moitié de la valeur absolue du déterminant de AB et AC. On retrouve au passage que ce déterminant s'annule exactement quand les trois points sont alignés.
§8
Erreurs classiques
Huit points de vigilance
Ce qu'on écrit
Pourquoi c'est faux
m = xB − xAyB − yA
Fraction inversée. La pente est la variation verticale divisée par la variation horizontale.
m = yB − yAxA − xB
Ordres incohérents au numérateur et au dénominateur : le signe est inversé.
AB = xB2 − xA2 + …
Confusion entre le carré de la différence et la différence des carrés.
AB = xB − xA + yB − yA
La racine d'une somme n'est pas la somme des racines.
« Cette droite verticale a une pente infinie »
La pente n'existe pas ; « infinie » n'est pas un réel et ce langage conduit à des erreurs de calcul.
« Ces droites ne sont pas perpendiculaires car mm′ ≠ −1 »
Conclusion invalide si l'une des droites est verticale : le critère ne s'applique pas.
« 2x + 4y = 6 et x + 2y = 3 sont deux droites »
C'est une seule droite : l'équation cartésienne n'est définie qu'à un facteur non nul près.
Appliquer AB = Δx2 + Δy2 dans un repère oblique
La formule suppose Pythagore, donc l'orthogonalité et la normalisation des vecteurs de base.
§9
Exercices corrigés
Six problèmes · corrigés détaillés · repère orthonormé
Exercice 1 — équation par deux points
Déterminer l'équation réduite de la droite (AB) avec A(−2 ; 5) et B(4 ; −1), puis vérifier si C(1 ; 2) lui appartient.
Voir le corrigé
Comme xA = −2 ≠ 4 = xB, la droite n'est pas verticale et sa pente vaut
m = −1 − 54 − (−2) = −66 = −1
L'équation s'écrit y − yA = m(x − xA), soit y − 5 = −1(x + 2), d'où y = −x + 3.
Vérification avec B :−4 + 3 = −1 = yB ✓
Appartenance de C :−1 + 3 = 2 = yC, donc C ∈ (AB). Les trois points sont alignés.
Exercice 2 — nature d'un triangle
Soit A(1 ; 1), B(5 ; 3), C(3 ; 7). Déterminer la nature du triangle ABC et calculer son aire.
On travaille sur les carrés pour éviter les racines : AB2 = BC2 donc AB = BC, le triangle est isocèle en B.
Réciproque de Pythagore :AB2 + BC2 = 20 + 20 = 40 = AC2. Le triangle est donc rectangle en B.
Conclusion : le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
Aire : les côtés de l'angle droit valent 20 chacun, donc 𝒜 = ½ × 20 = 10 unités d'aire. Le calcul par le déterminant confirme : ½|4×6 − 2×2| = ½ × 20 = 10.
Exercice 3 — parallèle et perpendiculaire
Soit d : 3x − 2y + 6 = 0 et A(4 ; 1). Déterminer une équation de la parallèle à d passant par A, puis de la perpendiculaire à d passant par A.
Voir le corrigé
Parallèle. Une parallèle à d a une équation de la forme 3x − 2y + k = 0 (mêmes coefficients a et b). En imposant le passage par A : 3(4) − 2(1) + k = 0, soit 10 + k = 0 et k = −10.
d′ : 3x − 2y − 10 = 0
Perpendiculaire. Un vecteur normal de d est n(3 ; −2). Ce vecteur dirige la perpendiculaire, dont un vecteur normal est donc n″(2 ; 3). L'équation est 2(x − 4) + 3(y − 1) = 0, soit
d″ : 2x + 3y − 11 = 0
Contrôle :3×2 + (−2)×3 = 6 − 6 = 0 ✓. En termes de pentes : md = 3/2 et md″ = −2/3, produit égal à −1 ✓.
Exercice 4 — distance et cercle tangent
Calculer la distance de M(2 ; −3) à la droite d : 4x − 3y + 1 = 0, puis donner l'équation du cercle de centre M tangent à d.
Un cercle de centre M est tangent à d si et seulement si son rayon égale cette distance. D'où r = 18/5 et
(x − 2)2 + (y + 3)2 = 32425
Exercice 5 — médiatrice, deux méthodes
Déterminer une équation de la médiatrice de [AB] avec A(−1 ; 2) et B(3 ; 4), par deux méthodes indépendantes.
Voir le corrigé
Méthode 1 — point et vecteur normal. Le milieu de [AB] est I(1 ; 3) et AB(4 ; 2) est normal à la médiatrice. D'où 4(x − 1) + 2(y − 3) = 0, soit 4x + 2y − 10 = 0, ou après division par 2 :
2x + y − 5 = 0
Méthode 2 — équidistance.M(x ; y) est sur la médiatrice si et seulement si MA2 = MB2 :
(x+1)2 + (y−2)2 = (x−3)2 + (y−4)2
En développant : x2 + 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = x2 − 6x + 9 + y2 − 8y + 16. Les termes du second degré se simplifient — c'est ce qui garantit qu'on obtient bien une droite — et il reste 8x + 4y − 20 = 0, soit 2x + y − 5 = 0. Les deux méthodes concordent.
Exercice 6 — discussion avec paramètre
Soit dk : kx + (k − 1)y + 2 = 0, où k est un réel. Discuter selon k : (a)dk est-elle toujours une droite ? (b) pour quelles valeurs est-elle verticale, horizontale ? (c) parallèle à Δ : 2x + y = 0 ?
Voir le corrigé
(a) L'équation définit une droite si et seulement si (k ; k − 1) ≠ (0 ; 0). Or k = 0 et k − 1 = 0 sont incompatibles. La condition est donc toujours satisfaite : dk est une droite pour tout réel k.
(b) Verticale ⟺ coefficient de y nul ⟺k = 1 ; la droite est alors x + 2 = 0, soit x = −2.
Horizontale ⟺ coefficient de x nul ⟺k = 0 ; la droite est alors −y + 2 = 0, soit y = 2.
(c) Parallélisme ⟺ déterminant nul : k × 1 − 2 × (k − 1) = 0, soit −k + 2 = 0 et k = 2. La droite est alors 2x + y + 2 = 0 ; comme les triplets (2 ; 1 ; 2) et (2 ; 1 ; 0) ne sont pas proportionnels, le parallélisme est strict.
Remarque : toutes les droites dk passent par un même point. En écrivant l'équation sous la forme k(x + y) − y + 2 = 0, valable pour tout k, il faut x + y = 0 et −y + 2 = 0, d'où le point fixe (−2 ; 2). La famille est un faisceau de droites.
§10
Formulaire
Toutes les formules, avec leurs conditions de validité