Construire ln, puis exp
Il existe deux entrées possibles. L'une part d'une aire (le logarithme comme primitive), l'autre d'une équation différentielle (l'exponentielle comme solution). Les deux mènent au même couple de fonctions.
La fonction \(x\mapsto \dfrac1x\) est continue sur \(]0;+\infty[\) : elle y admet des primitives. On appelle logarithme népérien l'unique primitive qui s'annule en 1 :
\[\ln x=\int_1^x \frac{\mathrm dt}{t}\qquad (x>0).\]En particulier \(\ln 1=0\) et \(\ln'(x)=\dfrac1x>0\) : \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
Pour tous réels \(a>0\) et \(b>0\) : \(\ \ln(ab)=\ln a+\ln b.\)
Démonstration
Fixons \(a>0\) et posons \(f(x)=\ln(ax)-\ln x\) sur \(]0;+\infty[\). Cette fonction est dérivable comme composée et différence de fonctions dérivables, et
\[f'(x)=a\times\frac{1}{ax}-\frac1x=\frac1x-\frac1x=0 .\]Sur l'intervalle \(]0;+\infty[\), une dérivée nulle impose \(f\) constante. Or \(f(1)=\ln a-\ln 1=\ln a\). Donc \(f(x)=\ln a\) pour tout \(x>0\), c'est-à-dire \(\ln(ax)=\ln a+\ln x\). \(\blacksquare\)
Les conséquences s'enchaînent immédiatement, pour \(a>0\), \(b>0\) et \(n\in\mathbb Z\) :
\[\ln\!\left(\frac1b\right)=-\ln b,\qquad \ln\!\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b,\qquad \ln(a^{n})=n\ln a,\qquad \ln\sqrt a=\tfrac12\ln a.\]\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty\).
Démonstration
Pour tout \(n\in\mathbb N\), \(\ln(2^n)=n\ln 2\) avec \(\ln 2>0\) (car \(2>1\) et \(\ln\) croissante avec \(\ln 1 = 0\)). La suite \((n\ln 2)\) diverge vers \(+\infty\) ; par croissance de \(\ln\), pour \(x\ge 2^n\) on a \(\ln x\ge n\ln 2\). D'où \(\ln x\to+\infty\).
Pour la seconde, on pose \(X=\frac1x\) : quand \(x\to0^+\), \(X\to+\infty\) et \(\ln x=-\ln X\to-\infty\). \(\blacksquare\)
Continue et strictement croissante de \(]0;+\infty[\) vers \(\mathbb R\), avec ces deux limites, \(\ln\) réalise donc une bijection de \(]0;+\infty[\) sur \(\mathbb R\). On peut la renverser.
La fonction exponentielle \(\exp:\mathbb R\to\,]0;+\infty[\) est la bijection réciproque de \(\ln\) :
\[\forall x\in\mathbb R,\ \forall y>0:\qquad y=\exp(x)\iff x=\ln y .\]On note \(\mathrm e=\exp(1)\), l'unique réel tel que \(\ln \mathrm e=1\), et \(\mathrm e^{x}=\exp(x)\). Numériquement \(\mathrm e=2{,}718\,281\,828\,459\ldots\)
\(\exp\) est l'unique fonction dérivable sur \(\mathbb R\) vérifiant \(y'=y\) et \(y(0)=1\).
Démonstration de l'unicité
Soit \(y\) une telle fonction. Posons \(\varphi(x)=y(x)\,\mathrm e^{-x}\). Alors
\[\varphi'(x)=y'(x)\mathrm e^{-x}-y(x)\mathrm e^{-x}=\big(y'(x)-y(x)\big)\mathrm e^{-x}=0 .\]Donc \(\varphi\) est constante sur \(\mathbb R\), égale à \(\varphi(0)=y(0)=1\). Comme \(\mathrm e^{-x}\ne0\), on conclut \(y(x)=\mathrm e^{x}\). \(\blacksquare\)
Cette caractérisation est souvent prise comme définition dans le supérieur : \(\ln\) devient alors la réciproque. Les deux constructions sont équivalentes.
Deux tables, une symétrie
Chaque règle du logarithme se lit en miroir sur l'exponentielle. Apprenez une colonne, l'autre s'en déduit par \(y=\mathrm e^{x}\iff x=\ln y\).
| Logarithme \(a,b>0\) | Exponentielle \(x,y\in\mathbb R\) | Lecture |
|---|---|---|
| \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) | \(\mathrm e^{x+y}=\mathrm e^{x}\mathrm e^{y}\) | produit ↔ somme |
| \(\ln\frac ab=\ln a-\ln b\) | \(\mathrm e^{x-y}=\dfrac{\mathrm e^{x}}{\mathrm e^{y}}\) | quotient ↔ différence |
| \(\ln(a^{n})=n\ln a\) | \((\mathrm e^{x})^{n}=\mathrm e^{nx}\) | puissance ↔ produit |
| \(\ln\sqrt a=\frac12\ln a\) | \(\sqrt{\mathrm e^{x}}=\mathrm e^{x/2}\) | racine ↔ moitié |
| \(\ln 1=0,\ \ln \mathrm e=1\) | \(\mathrm e^{0}=1,\ \mathrm e^{1}=\mathrm e\) | points de référence |
| \(\ln a=\ln b\iff a=b\) | \(\mathrm e^{x}=\mathrm e^{y}\iff x=y\) | injectivité |
| \(\ln a<\ln b\iff a<b\) | \(\mathrm e^{x}<\mathrm e^{y}\iff x<y\) | stricte croissance |
| \(\mathrm e^{\ln a}=a\) | \(\ln(\mathrm e^{x})=x\) | réciprocité |
- \(\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b\) — la somme à l'intérieur ne se casse pas.
- \(\dfrac{\ln a}{\ln b}\neq\ln\dfrac ab\) — un quotient de logarithmes est un changement de base, pas une soustraction.
- \((\ln a)^{2}\neq\ln(a^{2})\) — notez plutôt \(\ln^{2}a\) le premier si votre cours l'autorise.
- \(\mathrm e^{x}+\mathrm e^{y}\neq\mathrm e^{x+y}\) — c'est le produit qui donne la somme des exposants.
- Avant toute manipulation, écrivez le domaine : \(\ln u\) exige \(u>0\), strictement.
Graphiquement, les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y=x\) — propriété générale d'une bijection et de sa réciproque. Déplacez le point pour voir l'échange des coordonnées.
Dériver, primitiver
Deux formules composées suffisent à traiter la quasi-totalité des exercices. La seconde, lue à l'envers, fournit la primitive la plus utile de toute l'analyse.
Soit \(u\) dérivable sur un intervalle \(I\).
\[\big(\ln u\big)'=\frac{u'}{u}\ \ (\text{si }u>0\text{ sur }I),\qquad \big(\mathrm e^{u}\big)'=u'\,\mathrm e^{u}.\]Démonstration de \(\exp'=\exp\)
\(\exp\) est la réciproque de \(\ln\), dérivable et de dérivée \(\frac1x\ne0\). Le théorème de dérivation d'une réciproque donne, pour tout \(x\) :
\[\exp'(x)=\frac{1}{\ln'(\exp x)}=\frac{1}{\frac{1}{\exp x}}=\exp x .\]La formule composée s'ensuit par la règle de la chaîne. \(\blacksquare\)
| Fonction | Dérivée | Domaine |
|---|---|---|
| \(\ln(3x^{2}+1)\) | \(\dfrac{6x}{3x^{2}+1}\) | \(\mathbb R\) |
| \(x\ln x-x\) | \(\ln x\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\mathrm e^{-x^{2}}\) | \(-2x\,\mathrm e^{-x^{2}}\) | \(\mathbb R\) |
| \(\dfrac{\ln x}{x}\) | \(\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(x^{x}=\mathrm e^{x\ln x}\) | \(x^{x}\left(1+\ln x\right)\) | \(]0;+\infty[\) |
Toute fraction dont le numérateur est (à un facteur constant près) la dérivée du dénominateur s'intègre en logarithme :
\[\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,\mathrm dx=\ln|u(x)|+C .\]Exemple : \(\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+1}\mathrm dx=\ln(x^{2}+1)+C\) ; \(\displaystyle\int\tan x\,\mathrm dx=\int\frac{-(\cos x)'}{\cos x}\mathrm dx=-\ln|\cos x|+C\).
Symétriquement : \(\displaystyle\int u'\mathrm e^{u}=\mathrm e^{u}+C\). Et par parties, \(\displaystyle\int \ln x\,\mathrm dx=x\ln x-x+C\).
Le nombre dérivé en un point donne deux limites qu'il faut savoir reconnaître instantanément, car elles constituent le cœur des formes indéterminées :
\[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\ln'(1)=1,\qquad\quad \lim_{x\to0}\frac{\mathrm e^{x}-1}{x}=\exp'(0)=1 .\]Croissances comparées
Face à \(\infty\times 0\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\), une règle tranche presque toujours : l'exponentielle écrase toute puissance, toute puissance écrase le logarithme.
Pour tous réels \(\alpha>0\) et \(\beta>0\) :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^{\beta}}{x^{\alpha}}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{\alpha}}{\mathrm e^{\beta x}}=0,\qquad \lim_{x\to0^{+}}x^{\alpha}\ln x=0,\qquad \lim_{x\to-\infty}x^{\alpha}\mathrm e^{x}\ \text{ou}\ x\,\mathrm e^{x}=0 .\]Démonstration du cas \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\)
Étudions \(g(t)=t-1-\ln t\) sur \(]0;+\infty[\) : \(g'(t)=1-\frac1t\) s'annule en 1 en changeant de signe, donc \(g\) atteint son minimum en \(t=1\), avec \(g(1)=0\). Ainsi
\[\forall t>0,\qquad \ln t\le t-1\le t .\]Appliquons cette inégalité à \(t=\sqrt x\) pour \(x>0\) : \(\ \tfrac12\ln x=\ln\sqrt x\le\sqrt x\), donc \(0\le\dfrac{\ln x}{x}\le\dfrac{2\sqrt x}{x}=\dfrac{2}{\sqrt x}\) dès que \(x\ge1\).
Le majorant tend vers 0 : le théorème d'encadrement conclut. Le cas général s'obtient en posant \(x=\mathrm e^{u}\) puis en factorisant les exposants. \(\blacksquare\)
Trois réflexes : factoriser par le terme dominant, substituer \(u=\ln x\) ou \(u=\mathrm e^{x}\), écrire toute puissance sous la forme \(\mathrm e^{\alpha\ln x}\).
Exemple. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(x-\ln x\big)\) est une forme \(\infty-\infty\). On factorise : \(x-\ln x=x\Big(1-\frac{\ln x}{x}\Big)\). Le facteur tend vers \(1\), donc la limite vaut \(+\infty\).
Exemple. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}\) : on écrit \(x^{1/x}=\mathrm e^{\frac{\ln x}{x}}\to\mathrm e^{0}=1\).
| Forme rencontrée | Écriture qui débloque | Limite |
|---|---|---|
| \(x\ln x\) en \(0^{+}\) | poser \(x=\frac1X\), \(X\to+\infty\) | \(0\) |
| \(\dfrac{\mathrm e^{x}}{x^{n}}\) en \(+\infty\) | \(\Big(\dfrac{\mathrm e^{x/n}}{x}\Big)^{n}\) | \(+\infty\) |
| \(x-\ln x\) | \(x\big(1-\frac{\ln x}{x}\big)\) | \(+\infty\) |
| \(\big(1+\frac1n\big)^{n}\) | \(\mathrm e^{\,n\ln(1+1/n)}\) | \(\mathrm e\) |
| \(\dfrac{\ln(1+x)}{\sin x}\) en \(0\) | \(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\cdot\dfrac{x}{\sin x}\) | \(1\) |
Deux inégalités qui servent partout
\(\exp\) est convexe, \(\ln\) est concave. Une courbe convexe reste au-dessus de ses tangentes ; une courbe concave reste en dessous. Deux inégalités universelles en découlent.
Avec égalité seulement en \(x=0\) (resp. \(x=1\)).
Démonstration
\(\exp''=\exp>0\) donc \(\exp\) est convexe : sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0, d'équation \(y=1+x\). De même \(\ln''(x)=-\frac{1}{x^{2}}<0\) donne la concavité, donc la courbe est sous sa tangente en 1, d'équation \(y=x-1\).
Sans invoquer la convexité : l'étude de \(h(x)=\mathrm e^{x}-1-x\) donne \(h'(x)=\mathrm e^{x}-1\), négatif avant 0 et positif après ; donc \(h\) admet un minimum global \(h(0)=0\). \(\blacksquare\)
Par concavité de \(\ln\) (inégalité de Jensen), pour des réels strictement positifs \(x_1,\dots,x_n\) :
\[\ln\!\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)\ \ge\ \frac{\ln x_1+\cdots+\ln x_n}{n}=\ln\!\big(\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\big),\]puis, en appliquant \(\exp\) (croissante) : \(\ \sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n}\). La moyenne géométrique ne dépasse jamais la moyenne arithmétique.
Position relative des courbes : \(\mathcal C_{\exp}\) est au-dessus de la droite \(y=x+1\), elle-même au-dessus de \(\mathcal C_{\ln}\) translatée. Conséquence directe : pour tout \(x>0\), \(\ \ln x\le x-1
Puissances quelconques et échelles logarithmiques
Une fois \(\exp\) et \(\ln\) posés, on définit \(a^{x}\) pour tout exposant réel — et non plus seulement entier. Toute la famille des exponentielles se ramène à une seule.
Pour \(a>0\) et \(x\in\mathbb R\) : \(\ a^{x}:=\mathrm e^{x\ln a}\). Pour \(x>0\) et \(\alpha\in\mathbb R\) : \(\ x^{\alpha}:=\mathrm e^{\alpha\ln x}\).
Le logarithme de base \(a\) (\(a>0\), \(a\ne1\)) est \(\ \log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}\). Cas usuels : \(\log=\log_{10}\) (échelles physiques) et \(\log_2\) (informatique, complexité).
Dérivées : \(\ (a^{x})'=\ln a\cdot a^{x}\), \(\ (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\), \(\ (\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}\).
Le signe de \(\ln a\) commande tout : si \(a>1\) la fonction \(x\mapsto a^{x}\) croît, si \(0<a<1\) elle décroît, et \(a=1\) donne la constante 1. Faites varier la base :
Quand une grandeur varie sur plusieurs ordres, on mesure son logarithme. Trois exemples :
- pH \(=-\log_{10}[\mathrm H_3\mathrm O^{+}]\) : passer de pH 5 à pH 3, c'est multiplier la concentration par 100.
- Décibels : \(L=10\log_{10}\!\big(I/I_0\big)\) : +10 dB \(\Leftrightarrow\) intensité \(\times10\).
- Magnitude (Richter) : +1 de magnitude \(\Leftrightarrow\) énergie \(\times10^{1{,}5}\approx\times31{,}6\).
Sur un papier semi-logarithmique, une exponentielle devient une droite : c'est le test graphique standard d'un modèle de croissance exponentielle.
Équations et inéquations
Le protocole ne change jamais : domaine d'abord, transformation ensuite, vérification enfin. L'oubli du domaine est la première cause de perte de points.
- Domaine. Chaque \(\ln u\) impose \(u>0\) ; l'intersection de ces conditions est l'ensemble de résolution \(\mathcal D\).
- Regroupement. Ramener à \(\ln A=\ln B\) ou \(\mathrm e^{A}=\mathrm e^{B}\).
- Injectivité. Sur \(\mathcal D\), \(\ln A=\ln B\iff A=B\) et \(\mathrm e^{A}=\mathrm e^{B}\iff A=B\).
- Filtrage. Ne garder que les solutions appartenant à \(\mathcal D\).
Type 1 — logarithmes à regrouper. Résoudre \(\ln x+\ln(x-2)=\ln 3\).
Domaine : \(x>0\) et \(x-2>0\), donc \(\mathcal D=]2;+\infty[\). L'équation devient \(\ln\big(x(x-2)\big)=\ln 3\), soit \(x^{2}-2x-3=0\), de racines \(-1\) et \(3\). Seule \(x=3\) appartient à \(\mathcal D\), donc \(\mathcal S=\{3\}\).
Type 2 — changement d'inconnue. Résoudre \(\mathrm e^{2x}-3\mathrm e^{x}+2=0\).
On pose \(X=\mathrm e^{x}>0\) : \(X^{2}-3X+2=0\) donne \(X=1\) ou \(X=2\), toutes deux positives. Donc \(\mathrm e^{x}=1\) ou \(\mathrm e^{x}=2\), c'est-à-dire \(x=0\) ou \(x=\ln 2\).
Type 3 — exposant inconnu. Résoudre \(1{,}04^{n}\ge 2\) (doublement d'un capital à 4 %).
\(\ln\) étant croissante : \(n\ln 1{,}04\ge\ln 2\), et comme \(\ln1{,}04>0\), \(n\ge\dfrac{\ln2}{\ln1{,}04}\approx17{,}67\). Le plus petit entier convenable est \(n=18\).
Diviser par \(\ln a\) renverse l'inégalité lorsque \(0<a<1\), car alors \(\ln a<0\). Exemple : \(0{,}9^{n}\le0{,}5\iff n\ln0{,}9\le\ln0{,}5\iff n\ge\dfrac{\ln0{,}5}{\ln0{,}9}\approx6{,}58\), donc \(n\ge7\).
Séries entières et développements limités
Au-delà du programme de terminale : les deux fonctions admettent un développement en série, ce qui donne à la fois des valeurs numériques et des équivalents en 0.
\[\mathrm e^{x}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots\quad(x\in\mathbb R),\] \[\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}x^{n}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots\quad(-1d'où les équivalents \(\ \mathrm e^{x}-1\sim x\ \) et \(\ \ln(1+x)\sim x\ \) au voisinage de 0.
Démonstration
Posons \(u_n=\left(1+\frac1n\right)^{n}=\mathrm e^{\,n\ln\left(1+\frac1n\right)}\). En posant \(h=\frac1n\to0\) :
\[n\ln\!\left(1+\frac1n\right)=\frac{\ln(1+h)}{h}\xrightarrow[h\to0]{}1 .\]Par continuité de \(\exp\), \(u_n\to\mathrm e^{1}=\mathrm e\). \(\blacksquare\)
Plus généralement \(\left(1+\frac xn\right)^{n}\to\mathrm e^{x}\) : c'est le passage des intérêts composés discrets à la capitalisation continue.
Pour aller plus loin : prolongée aux complexes par la même série, l'exponentielle vérifie \(\mathrm e^{\mathrm i\theta}=\cos\theta+\mathrm i\sin\theta\), d'où \(\mathrm e^{\mathrm i\pi}+1=0\).
Équations différentielles et demi-vie
Dès qu'une grandeur varie proportionnellement à elle-même, l'exponentielle apparaît. C'est le modèle de la désintégration, du refroidissement, des intérêts continus et des premières phases d'épidémie.
Soit \(a\ne0\) et \(b\) deux réels. Les solutions sur \(\mathbb R\) de \(y'=ay+b\) sont exactement les fonctions
\[y(x)=C\,\mathrm e^{ax}-\frac ba,\qquad C\in\mathbb R,\]la constante \(C\) étant déterminée par une condition initiale. Pour \(b=0\), on retrouve \(y=C\mathrm e^{ax}\).
Démonstration
La fonction constante \(y_p=-\frac ba\) est solution particulière. Si \(y\) est une solution quelconque, \(z=y-y_p\) vérifie \(z'=az\). Posons \(\varphi=z\,\mathrm e^{-ax}\) : \(\varphi'=(z'-az)\mathrm e^{-ax}=0\), donc \(\varphi\) est constante, \(z=C\mathrm e^{ax}\). Réciproquement toute fonction de cette forme convient. \(\blacksquare\)
| Situation | Modèle | Solution |
|---|---|---|
| Désintégration radioactive | \(N'=-\lambda N\) | \(N(t)=N_0\mathrm e^{-\lambda t}\) |
| Refroidissement de Newton | \(\theta'=-k(\theta-\theta_{\text{air}})\) | \(\theta(t)=\theta_{\text{air}}+(\theta_0-\theta_{\text{air}})\mathrm e^{-kt}\) |
| Capitalisation continue | \(A'=rA\) | \(A(t)=A_0\mathrm e^{rt}\) |
| Charge d'un condensateur | \(u'=\frac{1}{RC}(E-u)\) | \(u(t)=E\big(1-\mathrm e^{-t/RC}\big)\) |
La demi-vie \(T\) est le temps au bout duquel la quantité est divisée par 2 : \(\mathrm e^{-\lambda T}=\frac12\), donc
\[T=\frac{\ln 2}{\lambda}\qquad\text{et symétriquement, temps de doublement}\quad T_2=\frac{\ln 2}{r}.\]D'où la « règle de 70 » : à \(r\) % de croissance annuelle, le doublement prend environ \(70/r\) années, puisque \(100\ln2\approx69{,}3\).
Calculateur de décroissance
Entrez une quantité initiale et une demi-vie ; la constante \(\lambda\), la quantité restante et le temps d'atteinte d'un seuil se mettent à jour immédiatement.
Douze exercices corrigés
Cherchez d'abord, ouvrez ensuite. Les trois derniers sont d'un niveau début de supérieur.
01 Déterminer l'ensemble de définition de \(f(x)=\ln(x^{2}-4)\).
Il faut \(x^{2}-4>0\), soit \(x^{2}>4\), c'est-à-dire \(|x|>2\). Donc \(\mathcal D_f=\,]-\infty;-2[\ \cup\ ]2;+\infty[\).
02 Dériver \(f(x)=\ln(3x^{2}+1)\) puis \(g(x)=\mathrm e^{-x^{2}}\).
Avec \(u=3x^{2}+1>0\) : \(f'(x)=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{6x}{3x^{2}+1}\). Avec \(u=-x^{2}\) : \(g'(x)=u'\mathrm e^{u}=-2x\,\mathrm e^{-x^{2}}\).
03 Résoudre \(\mathrm e^{2x}-3\mathrm e^{x}+2=0\).
Poser \(X=\mathrm e^{x}>0\) : \(X^{2}-3X+2=0\), discriminant \(1\), racines \(1\) et \(2\), toutes deux \(>0\). D'où \(x=0\) ou \(x=\ln2\).
04 Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^{3}}{x}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x^{2}\ln x\).
Croissances comparées : la puissance l'emporte sur le logarithme, donc la première limite vaut \(0\). Pour la seconde, \(x^{2}\ln x=x\cdot(x\ln x)\to0\times0=0\).
Rédaction alternative pour la première : poser \(x=\mathrm e^{u}\), l'expression devient \(u^{3}\mathrm e^{-u}\to0\).
05 Étudier \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0;+\infty[\) : variations, extremum, limites.
\(f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}\), du signe de \(1-\ln x\). Donc \(f\) croît sur \(]0;\mathrm e]\), décroît sur \([\mathrm e;+\infty[\), avec un maximum \(f(\mathrm e)=\dfrac1{\mathrm e}\approx0{,}368\).
Limites : en \(0^{+}\), \(\ln x\to-\infty\) et \(\frac1x\to+\infty\) donc \(f\to-\infty\) ; en \(+\infty\), croissances comparées donnent \(f\to0^{+}\) (asymptote horizontale \(y=0\)).
Conséquence célèbre : \(f(\pi)<f(\mathrm e)\) entraîne \(\pi\ln \mathrm e<\mathrm e\ln\pi\), donc \(\mathrm e^{\pi}>\pi^{\mathrm e}\).
06 Primitiver \(\dfrac{2x}{x^{2}+1}\), puis \(\dfrac{1}{x\ln x}\) sur \(]1;+\infty[\).
Forme \(u'/u\) avec \(u=x^{2}+1>0\) : primitive \(\ln(x^{2}+1)+C\).
Pour la seconde, \(u=\ln x\) et \(u'=\frac1x\) : l'intégrande vaut \(u'/u\), primitive \(\ln(\ln x)+C\) (défini car \(\ln x>0\)).
07 Résoudre \(0{,}97^{n}\le0{,}05\) dans \(\mathbb N\).
\(n\ln 0{,}97\le\ln0{,}05\). Comme \(\ln0{,}97<0\), on divise en changeant le sens : \(n\ge\dfrac{\ln0{,}05}{\ln0{,}97}\approx98{,}35\). Donc \(n\ge99\).
08 Résoudre \(y'=-0{,}2y+4\) avec \(y(0)=30\).
Solution générale \(y(t)=C\mathrm e^{-0{,}2t}+20\) (car \(-b/a=-4/(-0{,}2)=20\)). La condition \(y(0)=30\) donne \(C=10\), donc \(y(t)=10\,\mathrm e^{-0{,}2t}+20\), qui tend vers 20 en \(+\infty\).
09 Dériver \(f(x)=x^{x}\) sur \(]0;+\infty[\) et déterminer son minimum.
On écrit \(x^{x}=\mathrm e^{x\ln x}\). Alors \(f'(x)=(\ln x+1)\mathrm e^{x\ln x}=x^{x}(1+\ln x)\), du signe de \(1+\ln x\).
Minimum en \(x=\mathrm e^{-1}\), valant \(\big(\tfrac1{\mathrm e}\big)^{1/\mathrm e}=\mathrm e^{-1/\mathrm e}\approx0{,}692\).
10 Démontrer que pour tout \(x>0\), \(\ \dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x\).
Majoration : on sait \(\ln t\le t-1\) ; avec \(t=1+x\), \(\ln(1+x)\le x\).
Minoration : appliquons \(\ln t\le t-1\) à \(t=\dfrac{1}{1+x}\) : \(-\ln(1+x)\le\dfrac{1}{1+x}-1=\dfrac{-x}{1+x}\), d'où \(\ln(1+x)\ge\dfrac{x}{1+x}\).
On peut aussi étudier \(h(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}\), de dérivée \(\frac{x}{(1+x)^{2}}\ge0\) avec \(h(0)=0\).
11 Étudier la suite \(u_n=\left(1+\frac1n\right)^{n}\) : sens de variation et limite.
\(\ln u_n=n\ln\!\left(1+\frac1n\right)\). Par l'exercice 10 avec \(x=\frac1n\) : \(\dfrac{1/n}{1+1/n}\le\ln\!\left(1+\frac1n\right)\le\frac1n\), donc \(\dfrac{n}{n+1}\le\ln u_n\le1\).
Par encadrement \(\ln u_n\to1\), donc \(u_n\to\mathrm e\) par continuité de \(\exp\). La suite est croissante et majorée par \(\mathrm e\) (l'étude de \(x\mapsto x\ln(1+1/x)\) le confirme).
12 Montrer que \(\displaystyle\int_1^{x}\frac{\mathrm dt}{t}\) définit bien une fonction vérifiant \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), par changement de variable.
Pour \(a,b>0\) : \(\displaystyle\ln(ab)=\int_1^{ab}\frac{\mathrm dt}{t}=\int_1^{a}\frac{\mathrm dt}{t}+\int_a^{ab}\frac{\mathrm dt}{t}\).
Dans la seconde intégrale, on pose \(t=au\), \(\mathrm dt=a\,\mathrm du\) ; les bornes \(t=a\) et \(t=ab\) deviennent \(u=1\) et \(u=b\) :
\[\int_a^{ab}\frac{\mathrm dt}{t}=\int_1^{b}\frac{a\,\mathrm du}{au}=\int_1^{b}\frac{\mathrm du}{u}=\ln b .\]D'où le résultat. C'est la preuve « par les aires » du théorème 1.2.
Formulaire complet
Tout ce qui doit être su par cœur, sur une page — imprimable telle quelle (les corrections d'exercices dépliées s'impriment aussi).
| Thème | Logarithme | Exponentielle |
|---|---|---|
| Définition | \(\ln x=\int_1^{x}\frac{\mathrm dt}{t}\), \(x>0\) | réciproque de \(\ln\), \(\mathrm e^{x}>0\) |
| Domaine → image | \(]0;+\infty[\to\mathbb R\) | \(\mathbb R\to\,]0;+\infty[\) |
| Valeurs | \(\ln1=0\), \(\ln \mathrm e=1\) | \(\mathrm e^{0}=1\), \(\mathrm e^{1}\approx2{,}718\) |
| Relation | \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) | \(\mathrm e^{x+y}=\mathrm e^{x}\mathrm e^{y}\) |
| Dérivée | \((\ln x)'=\frac1x\), \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\) | \((\mathrm e^{x})'=\mathrm e^{x}\), \((\mathrm e^{u})'=u'\mathrm e^{u}\) |
| Primitive | \(\int\frac{u'}{u}=\ln|u|+C\) ; \(\int\ln x=x\ln x-x+C\) | \(\int u'\mathrm e^{u}=\mathrm e^{u}+C\) |
| Convexité | concave : \(\ln x\le x-1\) | convexe : \(\mathrm e^{x}\ge1+x\) |
| Limites en \(+\infty\) | \(\ln x\to+\infty\), \(\frac{\ln x}{x}\to0\) | \(\mathrm e^{x}\to+\infty\), \(\frac{\mathrm e^{x}}{x^{n}}\to+\infty\) |
| Limites en \(0\) / \(-\infty\) | \(\ln x\to-\infty\), \(x\ln x\to0\) | \(\mathrm e^{x}\to0\), \(x\mathrm e^{x}\to0\) |
| Nombre dérivé | \(\frac{\ln(1+x)}{x}\to1\) en 0 | \(\frac{\mathrm e^{x}-1}{x}\to1\) en 0 |
| Série | \(\ln(1+x)=\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n}\) | \(\mathrm e^{x}=\sum\frac{x^{n}}{n!}\) |
| Changement de base | \(\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}\) | \(a^{x}=\mathrm e^{x\ln a}\) |
| Équation différentielle | — | \(y'=ay+b\Rightarrow y=C\mathrm e^{ax}-\frac ba\) |
| Demi-vie / doublement | \(T=\frac{\ln2}{\lambda}\) | \(N(t)=N_0\mathrm e^{-\lambda t}\) |
\(\ln 2\approx0{,}693\) · \(\ln 3\approx1{,}099\) · \(\ln10\approx2{,}303\) · \(\mathrm e\approx2{,}718\) · \(\mathrm e^{2}\approx7{,}389\) · \(\frac1{\mathrm e}\approx0{,}368\) · \(\log_{10}2\approx0{,}301\).
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