πLe nombre pi

Ce que mesure π

Dans le plan euclidien, tous les cercles sont semblables : agrandir un cercle d'un facteur \(k\) multiplie à la fois son périmètre et son diamètre par \(k\). Leur rapport ne dépend donc pas du cercle choisi. C'est ce rapport constant que l'on note π.

La même constante gouverne l'aire du disque. Euclide établit que les aires de deux disques sont dans le rapport des carrés de leurs diamètres (Éléments, livre XII, proposition 2), sans nommer la constante. Archimède démontre ensuite que l'aire d'un disque est égale à celle d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont le rayon et le périmètre, soit \(\tfrac12 \cdot r \cdot 2\pi r = \pi r^2\). Ce sont deux faits distincts : il n'était pas évident a priori que la constante du périmètre soit aussi celle de l'aire.

Au-delà de la géométrie

Le rapport \(C/D\) n'est constant que dans le plan euclidien. Sur une sphère, un cercle tracé sur la surface a un périmètre inférieur à π fois son diamètre (mesuré sur la surface) et ce rapport dépend du cercle ; en géométrie hyperbolique, il est supérieur. Le nombre π, lui, ne dépend d'aucun modèle géométrique : l'analyse moderne le définit sans figure, par exemple ainsi.

La seconde égalité exprime que l'aire d'un demi-disque de rayon 1 vaut π/2 ; la première, que la longueur d'un demi-cercle de rayon 1 vaut π.

La lettre π est l'initiale du grec περιφέρεια (periphéreia, « circonférence »). Elle est employée dans ce sens par William Jones en 1706 et devient la notation usuelle grâce à Euler au milieu du XVIII^e siècle.

Quatre mille ans d'approximations

L'histoire de π est d'abord celle des méthodes : mesures empiriques, puis encadrements géométriques, séries infinies, et enfin algorithmes conçus pour les ordinateurs. Les dates antiques sont approximatives.

1. v. 1900–1600 av. J.-C.

   Babylone

   Une tablette paléo-babylonienne trouvée à Suse compare le périmètre d'un hexagone régulier à celui du cercle circonscrit ; le coefficient utilisé revient à prendre π ≈ 3 + 1/8 = 3,125.

2. v. 1650 av. J.-C.

   Égypte, papyrus Rhind

   Le scribe Ahmès calcule l'aire d'un disque de diamètre 9 comme celle d'un carré de côté 8, ce qui revient à π ≈ 4 × (8/9)² = 256/81 ≈ 3,1605.

3. v. 250 av. J.-C.

   Archimède de Syracuse

   Dans De la mesure du cercle, il encadre π à l'aide des polygones réguliers à 96 côtés inscrit et circonscrit : 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, soit environ 3,1408 < π < 3,1429. C'est le premier encadrement rigoureux connu, et la méthode peut être poursuivie indéfiniment (voir le laboratoire).

4. v. 150

   Ptolémée

   Dans l'Almageste, il utilise 3 ; 8, 30 en numération sexagésimale, soit 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 ≈ 3,14167.

5. 263

   Liu Hui

   Commentant les Neuf Chapitres, il développe une méthode polygonale indépendante de celle d'Archimède et obtient 3,1416 avec un polygone de 3 072 côtés.

6. v. 480

   Zu Chongzhi

   Il établit 3,1415926 < π < 3,1415927 et propose les approximations 22/7 et 355/113. Cette dernière est exacte à six décimales ; aucune précision supérieure n'est connue avant environ neuf siècles.

7. 499

   Āryabhaṭa

   Il donne 62 832/20 000 = 3,1416 et précise qu'il s'agit d'une valeur approchée.

8. v. 1400

   Mādhava de Sangamagrāma

   Fondateur de l'école mathématique du Kerala, il obtient les développements en série de l'arctangente, dont \(\frac{\pi}{4} = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots\), avec des termes correctifs qui accélèrent la convergence. On lui attribue 11 décimales exactes. Ses résultats nous sont connus par des textes ultérieurs de son école.

9. 1424

   Al-Kāshī

   À Samarcande, il calcule le périmètre d'un polygone de 3 × 2²⁸ côtés et obtient 16 décimales exactes.

10. 1579–1593

    François Viète

    Il obtient 9 décimales par les polygones, puis publie en 1593 la première expression de π comme produit infini (formule de Viète).

11. 1596–1610

    Ludolph van Ceulen

    Par la méthode des polygones, il atteint 20 puis 35 décimales. En Allemagne, π a longtemps été appelé « nombre de Ludolph ».

12. 1656

    John Wallis

    Il publie un produit infini de fractions rationnelles égal à π/2 (formule de Wallis).

13. 1671–1674

    James Gregory et Gottfried Leibniz

    La série de l'arctangente est redécouverte en Europe, indépendamment des travaux indiens.

14. 1706

    John Machin et William Jones

    Machin calcule 100 décimales grâce à une combinaison d'arctangentes qui converge vite (formule de Machin). La même année, Jones emploie la lettre π pour le rapport du périmètre au diamètre.

15. 1735

    Leonhard Euler et le problème de Bâle

    Il montre que \(\sum 1/n^2 = \pi^2/6\), reliant π à l'arithmétique des entiers.

16. 1748

    Euler, Introductio in analysin infinitorum

    L'ouvrage contribue largement à imposer la notation π et expose la relation \(e^{ix} = \cos x + i\sin x\), dont découle \(e^{i\pi} + 1 = 0\).

17. 1761–1768

    Johann Heinrich Lambert

    Il démontre que π est irrationnel, à l'aide d'un développement en fraction continue de la tangente. Sa démonstration paraît en 1768, dans le volume des mémoires de l'Académie de Berlin consacré à l'année 1761.

18. 1777

    Buffon

    Dans son Essai d'arithmétique morale, il publie le problème de l'aiguille : une probabilité qui fait intervenir π (voir le laboratoire).

19. 1794

    Adrien-Marie Legendre

    Il démontre que π² est irrationnel et conjecture que π n'est racine d'aucun polynôme à coefficients entiers.

20. 1873

    William Shanks

    Il publie 707 décimales calculées à la main, fruit de plusieurs années de travail. En 1946, D. F. Ferguson découvre une erreur : seules les 527 premières étaient correctes.

21. 1882

    Ferdinand von Lindemann

    Il démontre que π est transcendant, ce qui clôt le problème antique de la quadrature du cercle : elle est impossible à la règle et au compas (voir le chapitre 3).

22. 1897

    Le projet de loi de l'Indiana

    Un texte fondé sur une prétendue quadrature du cercle, qui impliquait notamment la valeur 3,2, est adopté par la Chambre des représentants de l'Indiana, puis ajourné indéfiniment par le Sénat après l'intervention du mathématicien C. A. Waldo.

23. 1914

    Srinivasa Ramanujan

    Il publie 17 séries pour 1/π, d'une rapidité de convergence inédite (formule de Ramanujan). Elles seront à l'origine des méthodes de calcul modernes.

24. 1949

    ENIAC

    Premier calcul de π par ordinateur électronique : 2 037 décimales en environ 70 heures.

25. 1958

    François Genuys

    À Paris, sur un IBM 704, il franchit les 10 000 décimales.

26. 1973

    Jean Guilloud et Martine Bouyer

    Au Commissariat à l'énergie atomique, sur un CDC 7600, ils dépassent le million de décimales.

27. 1988

    David et Gregory Chudnovsky

    Ils publient une série de type Ramanujan qui apporte environ 14 décimales par terme (formule des Chudnovsky). Elle a servi à tous les records depuis celui de Fabrice Bellard, fin 2009.

28. 1995

    Bailey, Borwein et Plouffe

    Ils découvrent une formule qui permet de calculer un chiffre hexadécimal de π sans calculer les précédents (formule BBP).

29. 2009

    Fabrice Bellard

    Il calcule près de 2 700 milliards de décimales sur un seul ordinateur de bureau, là où les records précédents utilisaient des supercalculateurs.

30. 2025

    Record actuel

    314 000 milliards (3,14 × 10¹⁴) de décimales, calculées par l'équipe de StorageReview en novembre 2025 sur un seul serveur, en 110 jours, avec le logiciel y-cruncher (voir l'évolution des records).

Quel genre de nombre est π ?

Irrationnel

Un nombre est rationnel s'il s'écrit \(p/q\) avec \(p, q\) entiers, \(q \neq 0\) ; c'est le cas si et seulement si son développement décimal est fini ou périodique à partir d'un certain rang. Lambert a démontré (publication en 1768) que π n'est pas rationnel : son développement décimal ne devient jamais périodique, quel que soit le rang à partir duquel on regarde. Une démonstration élémentaire, tenant en une page, a été publiée par Ivan Niven en 1947. Toute écriture décimale finie (comme 3,14) et toute fraction (comme 22/7) n'en donnent donc qu'une approximation.

Transcendant

Un nombre est algébrique s'il est racine d'un polynôme non nul à coefficients entiers (comme \(\sqrt 2\), racine de \(x^2-2\)) ; sinon il est transcendant. Lindemann a démontré en 1882 que π est transcendant. Or tout nombre constructible à la règle et au compas à partir d'un segment unité est algébrique (il s'obtient à partir de 1 par un nombre fini d'additions, soustractions, multiplications, divisions et extractions de racines carrées). Construire un carré de même aire qu'un disque de rayon 1 exigerait de construire \(\sqrt\pi\), donc π : la quadrature du cercle est impossible.

Fraction continue

Tout réel \(x\) s'écrit \(x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cdots}}\), noté \([a_0 ; a_1, a_2, \ldots]\). Cette écriture est infinie si et seulement si \(x\) est irrationnel. En l'arrêtant, on obtient les réduites \(p_k/q_k\), qui sont les meilleures approximations rationnelles de \(x\) : aucune fraction de dénominateur inférieur ou égal à \(q_k\) n'est plus proche. Elles vérifient \(\left|x - p_k/q_k\right| < 1/q_k^2\).

Mesure d'irrationalité

On peut quantifier à quel point un irrationnel se laisse approcher par des fractions. La mesure d'irrationalité \(\mu(x)\) est la borne inférieure des exposants \(\mu\) tels que \(|x - p/q| < 1/q^{\mu}\) n'ait qu'un nombre fini de solutions. Elle vaut au moins 2 pour tout irrationnel et exactement 2 pour presque tous les réels. Pour π, on sait seulement que \(\mu(\pi) \le 7{,}103205334137\ldots\) (Zeilberger et Zudilin, 2020) ; on conjecture \(\mu(\pi) = 2\).

Normalité : une question ouverte

Un réel est dit normal en base 10 si chaque bloc de \(k\) chiffres apparaît, à la limite, avec la fréquence \(10^{-k}\) dans son développement. Émile Borel a montré en 1909 que presque tous les réels sont normaux dans toutes les bases. Pourtant, on ne sait pas si π est normal. On ne sait même pas démontrer que chacun des chiffres 0 à 9 y apparaît une infinité de fois. Les statistiques observées sur les décimales calculées (voir le chapitre 6) sont compatibles avec la normalité, mais aucune quantité finie de décimales ne peut la démontrer.

Formules remarquables

Chaque formule ci-dessous est une égalité exacte. Leur intérêt pratique dépend de leur vitesse de convergence, indiquée à chaque fois ; le laboratoire des séries permet de la comparer.

1. 1593

   Viète

   \[ \frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}{2}\cdots \]

   Première expression connue de π comme produit infini. Elle traduit la méthode des polygones : chaque facteur correspond à un doublement du nombre de côtés. L'erreur est divisée par environ 4 à chaque facteur, soit un gain d'environ 0,6 décimale.

2. 1656

   Wallis

   \[ \frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac21\cdot\frac23\cdot\frac43\cdot\frac45\cdot\frac65\cdot\frac67\cdots \]

   Très lente : après \(N\) facteurs, l'erreur sur π est de l'ordre de \(1/N\).

3. v. 1400 et 1674

   Mādhava–Gregory–Leibniz

   \[ \frac{\pi}{4} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots \]

   Cas particulier \(x = 1\) de \(\arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - \cdots\). Magnifique mais inutilisable pour le calcul : l'erreur après \(N\) termes est de l'ordre de \(1/N\), et il faut de l'ordre d'un million de termes pour obtenir une erreur inférieure à 10⁻⁶.

4. 1706

   Machin

   \[ \frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac15 - \arctan\frac{1}{239} \]

   La série de l'arctangente converge d'autant plus vite que \(x\) est petit : avec \(x = 1/5\), chaque terme apporte environ 1,4 décimale. Les formules de ce type ont servi à la plupart des records jusqu'aux années 1970. C'est celle qu'utilise cette page pour calculer les décimales, en arithmétique entière exacte.

5. 1730

   De Moivre et Stirling

   \[ n! \sim \sqrt{2\pi n}\,\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \quad (n \to \infty) \]

   π apparaît dans le comportement asymptotique de la factorielle, un objet purement arithmétique. Le symbole \(\sim\) signifie que le rapport des deux membres tend vers 1.

6. 1735

   Euler, problème de Bâle

   \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} \]

   Plus généralement, \(\zeta(2k)\) est un multiple rationnel de \(\pi^{2k}\). La première série donne π avec une erreur de l'ordre de \(1/N\) après \(N\) termes.

7. 1748

   Identité d'Euler

   \[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]

   Conséquence de \(e^{ix} = \cos x + i \sin x\) pour \(x = \pi\). Elle exprime qu'une rotation d'angle π (un demi-tour) dans le plan complexe envoie 1 sur −1.

8. XVIII^e s.

   Intégrale de Gauss

   \[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{\pi} \]

   Évaluée par Laplace. Elle explique la présence de π dans la loi normale des probabilités. Le calcul classique élève l'intégrale au carré et passe en coordonnées polaires : le cercle réapparaît.

9. 1914

   Ramanujan

   \[ \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k)!\,(1103 + 26390\,k)}{(k!)^4\; 396^{4k}} \]

   Environ 8 décimales par terme. Le seul premier terme donne 3,14159273, soit six décimales exactes.

10. 1988

    Chudnovsky

    \[ \frac{1}{\pi} = 12\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k\,(6k)!\,(13591409 + 545140134\,k)}{(3k)!\,(k!)^3\; 640320^{3k+3/2}} \]

    Environ 14,18 décimales par terme (\(\log_{10}(640320^3/1728)\)). Combinée à la multiplication rapide des grands entiers et à la technique du « binary splitting », c'est la formule des records actuels.

11. 1995

    Bailey–Borwein–Plouffe

    \[ \pi = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{16^k}\left(\frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6}\right) \]

    Grâce au facteur \(16^{-k}\), elle permet de calculer le \(n\)-ième chiffre de π en base 16 sans calculer les précédents. Elle et ses variantes (comme la formule de Bellard) servent à vérifier les records : on recalcule indépendamment quelques chiffres hexadécimaux situés à la fin du développement obtenu.

Laboratoire : approcher π soi-même

Trois méthodes, trois philosophies : encadrer par la géométrie, estimer par le hasard, sommer une série. Tous les calculs sont effectués en direct dans votre navigateur.

Les décimales

Les décimales affichées ici ne sont pas recopiées : votre navigateur les calcule avec la formule de Machin, en arithmétique entière exacte (type BigInt) et avec 10 chiffres de garde, puis peut les vérifier avec une seconde formule indépendante.

Des milliers aux centaines de milliers de milliards

Depuis 1949, le nombre de décimales connues a été multiplié par plus de 10¹¹. Les progrès viennent autant des algorithmes (séries de Ramanujan et des Chudnovsky, multiplication rapide par transformée de Fourier) que du matériel. Aux échelles actuelles, la difficulté principale est le stockage : un calcul record manipule des pétaoctets de données intermédiaires.

Échelle verticale logarithmique : chaque graduation multiplie le nombre de décimales par 1 000. En français, « billion » désigne 10¹² ; les « 314 trillion digits » de la presse anglophone sont donc 314 000 milliards, soit 314 billions. État des connaissances au 29 septembre 2026.

Combien de décimales faut-il vraiment ?

Si l'on tronque π à \(d\) décimales, l'erreur commise sur π est inférieure à \(10^{-d}\), donc l'erreur sur le périmètre \(2\pi r\) d'un cercle de rayon \(r\) est inférieure à \(2r \cdot 10^{-d}\). Pour garantir une erreur au plus égale à \(\varepsilon\), il suffit que \(d \ge \log_{10}(2r/\varepsilon)\).

Le Jet Propulsion Laboratory de la NASA indique utiliser 15 décimales (3,141592653589793) pour ses calculs de navigation interplanétaire les plus précis, et rappelle qu'environ 37 décimales suffisent pour le périmètre de l'univers observable à la largeur d'un atome d'hydrogène près, ce que confirme le calculateur. Les calculs records ne servent donc pas à la physique : ils servent à tester le matériel, à éprouver les algorithmes d'arithmétique en grande précision et à étudier statistiquement les décimales.

π dans les sciences

π apparaît bien au-delà des cercles. Trois origines expliquent la plupart de ses apparitions : la géométrie des cercles et des sphères, la périodicité des rotations et des oscillations, et l'intégrale de Gauss.

Géométrie et angles

Aire du disque \(\pi r^2\), aire de la sphère \(4\pi r^2\), volume de la boule \(\tfrac43\pi r^3\) : les deux derniers résultats sont dus à Archimède. En radians, unité naturelle des angles, un tour complet mesure \(2\pi\) et l'angle solide de tout l'espace vaut \(4\pi\) stéradians.

Oscillations et ondes

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période \(2\pi\). Dès qu'un phénomène périodique est décrit à l'aide de ces fonctions, π apparaît, par exemple dans la pulsation \(\omega = 2\pi f\) ou la période d'un pendule simple aux petites oscillations, \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\) (approximation valable pour de faibles amplitudes).

Probabilités et statistique

La densité de la loi normale, \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}\), contient \(\sqrt{2\pi}\) pour que son intégrale vaille 1, conséquence directe de l'intégrale de Gauss. Le théorème central limite confère à cette loi, et donc à π, un rôle universel en statistique.

Physique

Dans la loi de Coulomb, \(F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\), le facteur \(4\pi\) est l'aire de la sphère unité : l'influence d'une charge se répartit sur des sphères. En mécanique quantique, la constante de Planck réduite s'écrit \(\hbar = h/(2\pi)\). Les équations d'Einstein de la relativité générale, \(G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\), contiennent le facteur \(8\pi\) qui assure l'accord avec la gravitation de Newton à la limite des champs faibles.

Arithmétique

Parmi les couples d'entiers \((a, b)\) avec \(1 \le a, b \le n\), la proportion de couples premiers entre eux tend vers \(6/\pi^2 \approx 60{,}8\,\%\) quand \(n \to \infty\) (résultat du XIX^e siècle, dû notamment à Dirichlet et Cesàro). Le cercle n'y joue aucun rôle apparent : π provient de \(\zeta(2) = \pi^2/6\).

Culture et curiosités

Le 14 mars

La « journée de π » est née en 1988 à l'Exploratorium de San Francisco, à l'initiative du physicien Larry Shaw. Le jeu de mots repose sur la notation américaine des dates, 3/14. En 2019, l'UNESCO a proclamé le 14 mars Journée internationale des mathématiques, célébrée depuis 2020.

Un poème pour retenir π

Dans ce poème mnémotechnique français d'auteur inconnu, qui circule au moins depuis le début du XX^e siècle, le nombre de lettres de chaque mot donne un chiffre de π. La vérification ci-dessous est faite automatiquement en comparant chaque longueur de mot aux décimales calculées par la page (l'apostrophe sépare « j' » de « aime »).

Le point de Feynman

À partir de la 762^e décimale, π contient six 9 consécutifs. Le nom vient d'une anecdote attribuée au physicien Richard Feynman, qui aurait aimé réciter les décimales jusqu'à cet endroit pour conclure par « … neuf, neuf, neuf, neuf, neuf, neuf, et ainsi de suite », comme si π était rationnel. Pour un nombre dont les chiffres seraient tirés uniformément au hasard, la probabilité de rencontrer six 9 consécutifs parmi les 762 premières positions est d'environ 762 × 10⁻⁶ ≈ 0,08 % (environ 0,8 % pour six chiffres identiques quelconques) : c'est une coïncidence remarquable, mais pas une anomalie.

π ou τ ?

Certains mathématiciens (Robert Palais en 2001, Michael Hartl en 2010) proposent d'utiliser la constante \(\tau = 2\pi\), rapport du périmètre au rayon, en arguant que \(2\pi\) apparaît plus souvent que π dans les formules. D'autres répondent que π est plus naturel pour les aires (\(\pi r^2\)) et que le changement n'apporterait aucun gain réel. La question relève de la convention, pas des mathématiques : aucun résultat ne dépend de ce choix.

Approximations célèbres

22/7 ≈ 3,142857 (erreur ≈ 1,3 × 10⁻³) ; 355/113 ≈ 3,1415929 (erreur ≈ 2,7 × 10⁻⁷) ; \(\sqrt{10} \approx 3{,}1623\), utilisée notamment en Inde et en Chine anciennes ; \(\sqrt[4]{9^2 + 19^2/22} \approx 3{,}14159265258\), due à Ramanujan, exacte à 8 décimales. Ces valeurs ne sont que des approximations : π étant irrationnel, aucune fraction ne lui est égale.

Ce que l'on ne sait pas

Malgré des décimales connues par centaines de milliers de milliards, des questions très simples sur π restent sans réponse.

• π est-il normal ? On ignore si chaque bloc de chiffres y apparaît avec la fréquence attendue, et même si chaque chiffre y apparaît une infinité de fois.
• π + e et π·e sont-ils irrationnels ? On l'ignore. On sait seulement qu'au moins l'un des deux est transcendant : sinon π et e, racines de \(x^2 - (\pi+e)x + \pi e\), seraient algébriques.
• Que vaut exactement la mesure d'irrationalité de π ? On sait qu'elle est comprise entre 2 et 7,1032…, et l'on conjecture qu'elle vaut 2.
• \(\pi^e\) et \(\pi^\pi\) sont-ils irrationnels ? Question ouverte. À l'inverse, \(e^\pi\) est transcendant (Gelfond, 1929) ; c'est aussi un cas particulier du théorème de Gelfond–Schneider (1934), puisque \(e^\pi = (-1)^{-i}\).
• \(\pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}\) est-il un entier ? Aussi étonnant que cela paraisse, on ne sait pas l'exclure : ce nombre est bien trop grand pour être calculé avec une précision suffisante, et aucun argument théorique ne tranche.

Méthode et sources

Toutes les valeurs numériques de cette page (décimales, fraction continue, statistiques, bornes d'Archimède, estimations) sont calculées par votre navigateur à l'ouverture ou à la demande. Les décimales sont obtenues en arithmétique entière exacte ; les autres calculs utilisent la double précision IEEE 754 (environ 16 chiffres significatifs), dont les limites sont signalées là où elles interviennent. Les formules s'affichent grâce à MathJax, chargé depuis un réseau de diffusion de contenu : une connexion internet est nécessaire pour leur rendu.

• J. Arndt, C. Haenel, π Unleashed, Springer, 2001.
• L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein (dir.), Pi: A Source Book, 3^e éd., Springer, 2004 (recueil des articles originaux de Lambert, Lindemann, Ramanujan, Chudnovsky, Bailey–Borwein–Plouffe, etc.).
• P. Beckmann, A History of π, The Golem Press, 1970.
• J.-P. Delahaye, Le fascinant nombre π, Belin – Pour la Science, 1997.
• J. H. Lambert, « Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques », Histoire de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, année 1761, publié en 1768.
• F. Lindemann, « Über die Zahl π », Mathematische Annalen, 20, 1882.
• I. Niven, « A simple proof that π is irrational », Bulletin of the AMS, 53, 1947.
• S. Ramanujan, « Modular equations and approximations to π », Quarterly Journal of Mathematics, 45, 1914.
• D. Bailey, P. Borwein, S. Plouffe, « On the rapid computation of various polylogarithmic constants », Mathematics of Computation, 66, 1997.
• D. Zeilberger, W. Zudilin, « The irrationality measure of π is at most 7.103205334137… », Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory, 9, 2020.
• M. Rayman, « How many decimals of pi do we really need? », NASA/JPL Edu, 2016.
• A. J. Yee, page du logiciel y-cruncher, liste des records de calcul (numberworld.org), consultée en septembre 2026 ; StorageReview, annonce du record de 314 000 milliards de décimales, 2025.