La planche
de Galton

I — Le dispositif

Une bille, des clous, et rien d'autre

La planche est un plan incliné hérissé de clous disposés en quinconce. On lâche une bille au sommet, exactement au-dessus du clou unique de la première rangée. À chaque choc, elle est déviée à gauche ou à droite, puis retombe sur un clou de la rangée suivante. Après n rangées, elle tombe dans l'une des n + 1 gouttières alignées en bas.

Francis Galton fait construire l'appareil vers 1873 et le baptise quincunx, du nom latin de la disposition en quinconce des arbres d'un verger romain. Il ne cherche pas à amuser : il veut une démonstration matérielle d'une thèse statistique. Une multitude de petites causes indépendantes, chacune négligeable, s'additionnent en une grandeur dont la distribution est toujours la même courbe en cloche. C'est l'argument central de son livre Natural Inheritance (1889), où le quinconce sert à expliquer pourquoi la taille des hommes, agrégat de causes héréditaires innombrables, se répartit normalement.

La trémie et son col

Au sommet, un entonnoir large retient la réserve et se resserre sur un col ne laissant passer qu'une bille à la fois. Ce détail n'est pas décoratif : il garantit qu'aucune bille n'en heurte une autre, donc que chaque descente est indépendante des précédentes. C'est précisément l'hypothèse dont dépend tout le raisonnement de la section suivante. Un dispositif qui déverserait les billes en vrac produirait des chocs entre billes, des trajectoires corrélées, et le modèle binomial ne s'appliquerait plus.

Le débit d'un tel col est borné par la physique, et le simulateur respecte cette borne : une file unique ne peut pas émettre plus vite que les billes ne s'en éloignent en tombant, sans quoi elles se chevaucheraient. Régler le débit ne change donc que le nombre de billes lâchées par seconde, jamais la vitesse de chute de chacune — comme sur un appareil réel, où ouvrir davantage la trémie ne fait pas tomber les billes plus vite.

Le simulateur ci-dessus ne modélise pas les chocs physiques. Il tire directement, pour chaque clou, une décision aléatoire « gauche ou droite ». C'est un choix délibéré : il simule le modèle idéalisé, pas l'objet en bois. La section VII explique précisément ce que cette idéalisation laisse de côté.

II — Le modèle

Pourquoi c'est une loi binomiale

Idéalisons. On suppose que chaque choc constitue une épreuve de Bernoulli : la bille part à droite avec la probabilité p, à gauche avec la probabilité q = 1 − p. On suppose de plus que les n chocs sont mutuellement indépendants et que p ne dépend ni de la rangée ni du clou touché. Le curseur règle p par vingt-quatrièmes, ce qui donne des valeurs exactement rationnelles — 1/2, 1/3, 3/8, 5/6 — et non des décimaux arrondis.

Notons X_i la variable valant 1 si le i-ième choc envoie la bille à droite, 0 sinon. La gouttière d'arrivée est alors la somme

Une somme de n variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre suit par définition la loi binomiale ℬ(n, p). Sa loi de probabilité est

La démonstration tient en une phrase. Un chemin précis comportant k virages à droite et n − k à gauche a, par indépendance, la probabilité p^kq^n−k ; ces chemins sont deux à deux incompatibles ; il y en a exactement C_n^k, autant que de façons de choisir les k rangées où l'on tourne à droite. On additionne.

Le triangle de Pascal est dessiné sur la planche

Activez la case « Triangle de Pascal » : chaque clou affiche le nombre de chemins qui y mènent. Le clou j de la rangée i porte C_i^j, et chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui — la relation de Pascal C_i^j = C_i−1^j−1 + C_i−1^j n'est rien d'autre que la constatation qu'on arrive sur un clou soit par la gauche, soit par la droite. L'appareil est un triangle de Pascal en bois.

Espérance et variance

Par linéarité de l'espérance, et parce que la variance d'une somme de variables indépendantes est la somme des variances :

Deux conséquences visibles à l'écran. Le pic se déplace proportionnellement à n quand on bouge p, alors que la largeur ne croît qu'en √n : relativement à sa position, la cloche devient de plus en plus étroite. Et la variance est maximale en p = 1/2, nulle en p = 0 ou 1, où toutes les billes tombent dans la même gouttière.

III — Le passage à la limite

D'où sort la courbe en cloche

La loi binomiale est discrète et combinatoire ; la courbe en cloche est continue et analytique. Le pont entre les deux est le théorème de de Moivre–Laplace, établi par Abraham de Moivre en 1733 pour p = 1/2, puis étendu à tout p par Pierre-Simon Laplace en 1812. C'est le premier cas historique du théorème central limite.

Attention à ce qui converge exactement. Ce n'est pas K, dont l'espérance et la variance grandissent sans cesse avec n — sur la planche, la cloche se déplace et s'élargit indéfiniment. C'est la variable centrée réduite, et c'est pour cela que le panneau « Vue centrée réduite » existe : il montre la seule figure qui, elle, se stabilise.

La courbe verte tracée sur l'histogramme est la version locale de ce théorème, celle qui approche directement la hauteur de chaque colonne :

Ce que « approché » veut dire quantitativement

L'inégalité de Berry–Esseen borne l'erreur de l'approximation normale sur la fonction de répartition. Appliquée à une somme de variables de Bernoulli, elle donne

Trois lectures utiles de cette borne. D'abord, la vitesse de convergence est en 1/√n, ce qui est médiocre — il faut quadrupler le nombre de rangées pour diviser l'erreur par deux. Ensuite, la qualité ne dépend pas de n seul mais de la quantité npq, ce que la lecture « Variance » vous donne directement ; la règle empirique usuelle demande npq ≥ 9. Enfin, plus p s'éloigne de 1/2, plus le numérateur p² + q² grandit et plus le dénominateur rapetisse : l'approximation se dégrade doublement.

Cette inégalité est vérifiable à l'écran. Le bandeau affiche d'un côté l'écart réel sup|F − Φ|, calculé exactement sur la binomiale — la loi étant en escalier, le maximum est cherché de part et d'autre de chaque saut — et de l'autre la borne 0,469 · (p²+q²)/√(npq). Les deux ne dépendent que de n et de p, jamais des billes tombées. Sur les 690 couples de réglages possibles, la borne n'est jamais violée, et le rapport de l'écart à la borne ne dépasse pas 0,87 : elle est valide mais pessimiste, ce qui est le propre d'une majoration universelle.

Un constat s'impose au passage : même à trente rangées et p = 1/2, npq ne vaut que 7,5. La règle des 9 n'est donc jamais satisfaite sur cet appareil, quelle que soit la position des curseurs. L'écart à la normale y reste de l'ordre de 7 %, et il ne descendrait sous 1 % qu'au-delà de 1 500 rangées. Une planche de Galton est une illustration de la loi normale, pas une bonne approximation de celle-ci.

Le piège des queues

Berry–Esseen contrôle l'erreur absolue. Dans les queues de distribution, où les probabilités valent 10⁻⁶ ou moins, une erreur absolue de 10⁻³ est sans intérêt : l'erreur relative, elle, peut être gigantesque. Le théorème central limite ne dit rien de la probabilité des événements très rares. Ce régime relève des grandes déviations et du théorème de Cramér, où l'approximation gaussienne est remplacée par une décroissance exponentielle de taux différent. Autrement dit : la planche de Galton illustre magnifiquement le centre de la loi normale, et pas du tout ses extrémités.

La correction de continuité

Approcher une loi discrète par une loi continue exige un ajustement. Pour estimer P(a ≤ K ≤ b), on intègre la densité normale non pas de a à b mais de a − 0,5 à b + 0,5 : chaque colonne de l'histogramme a une largeur de 1, et il faut la couvrir en entier. L'oubli de cette correction est la source d'erreur la plus fréquente dans l'usage scolaire de l'approximation normale ; l'effet est d'autant plus grand que n est petit.

IV — La stabilisation

Ce que garantit la loi des grands nombres

Deux convergences distinctes se superposent dans cet appareil, et les confondre est l'erreur conceptuelle la plus commune à son sujet.

La première concerne le nombre de rangées n. C'est le théorème central limite : quand n grandit, la forme de la loi de K, une fois centrée et réduite, tend vers la gaussienne. Cette convergence n'a rien à voir avec le nombre de billes lâchées.

La seconde concerne le nombre de billes N. C'est la loi des grands nombres : la fréquence observée N_k / N dans la gouttière k converge presque sûrement vers P(K = k). Le théorème de Glivenko–Cantelli renforce ce résultat en une convergence uniforme sur toutes les gouttières à la fois — c'est ce que mesure la lecture « Écart max |F̂ − F| ».

Cette relation fournit un critère pour dimensionner la réserve. Exiger que la fluctuation relative de la gouttière la plus chargée reste sous les 5 % revient à demander N ≥ (1 − p_max) ⁄ (p_max · 0,0025), où p_max est la probabilité de la gouttière modale. C'est ce que calcule le bouton « Réserve conseillée » : environ 1 380 billes pour n = 12, et seulement 410 pour n = 2. Au-delà de n = 13 le critère réclame plus que les 1 400 billes de la réserve, et la valeur conseillée sature à ce plafond : la cloche reste correcte, simplement un peu plus bruitée sur les bords.

Une planche à n = 3 rangées, alimentée par un million de billes, donnera un histogramme d'une régularité parfaite — et qui ne ressemblera pas du tout à une cloche. Une planche à n = 20 rangées, alimentée par 15 billes, aura la bonne forme théorique et un histogramme illisible. Il faut les deux paramètres grands pour voir la loi normale, mais ils agissent sur des choses différentes.

V — Le contrôle

Le test du khi-deux, et ce qu'il ne prouve pas

Le simulateur ne se contente pas de superposer courbe et histogramme. Il calcule la statistique de Pearson (1900), qui quantifie l'écart global entre les effectifs observés O_k et les effectifs attendus E_k = N · P(K = k) sous le modèle binomial.

Trois précautions de mise en œuvre

• Regroupement des classes. L'approximation de la loi de la statistique par une loi du χ² exige des effectifs attendus suffisants. La règle appliquée ici est la règle classique E_k ≥ 5 : les gouttières extrêmes, dont l'effectif attendu est trop faible, sont fusionnées avec leurs voisines avant le calcul. Le nombre de classes effectives est indiqué dans le bandeau.
• Degrés de liberté. Ici ν = m − 1, où m est le nombre de classes après regroupement. On ne retranche pas de degré supplémentaire, car p et n ne sont pas estimés sur les données : ils sont fixés a priori par les réglages. Si l'on avait estimé p à partir de l'échantillon, il aurait fallu ν = m − 2.
• Sens de la p-valeur. La p-valeur est la probabilité, si le modèle est vrai, d'observer un écart au moins aussi grand que celui constaté. Ce n'est pas la probabilité que le modèle soit vrai.

Le test ne peut pas valider le modèle

Une p-valeur confortable signifie seulement que les données ne contredisent pas le modèle de façon détectable avec cet effectif. Elle ne le démontre pas. Et l'inverse est tout aussi instructif : avec N = 10⁷ billes, un biais infime du générateur — un p réel de 0,5001 au lieu de 0,5 — produira une p-valeur écrasante. Le test détecte des écarts, pas des écarts importants. À très grand échantillon, la significativité statistique cesse de renseigner sur la pertinence pratique.

Un dernier point, souvent négligé : en observant la p-valeur en continu pendant que les billes tombent et en s'arrêtant quand elle vous plaît, vous pratiquez de l'optional stopping et invalidez le test. La p-valeur n'est interprétable que pour un N fixé à l'avance. C'est pourquoi le bandeau la remplace par la mention « provisoire » tant que la réserve n'est pas vide : elle ne s'affiche qu'une fois la dernière bille tombée, sur un effectif que vous aviez arrêté avant de lancer.

VI — Le hasard simulé

Un aléa parfaitement déterministe

Le générateur employé ici est mulberry32, un générateur pseudo-aléatoire à état interne de 32 bits. Il est entièrement déterministe : à graine égale, la suite de billes est rigoureusement identique. C'est un choix assumé, et vous pouvez le vérifier — notez la graine, lancez mille billes, réinitialisez, relancez : le même histogramme réapparaît au grain près.

Cette reproductibilité est une exigence méthodologique. Une simulation dont on ne peut pas rejouer l'exécution n'est pas une expérience, c'est une anecdote. La graine seule n'y suffit d'ailleurs pas : il faut aussi le nombre de rangées, la valeur de p et la réserve. Le bouton « Copier le lien de cette configuration » les encode tous dans l'adresse de la page, qui devient ainsi la description complète d'une exécution.

Il faut cependant en connaître les limites. Mulberry32 a une période de 2³², soit environ 4,3 milliards de tirages : très au-delà de tout usage de cette page, mais insuffisant pour un travail numérique sérieux, où l'on emploierait plutôt un Mersenne Twister ou un générateur de la famille PCG. Par ailleurs, aucun générateur de ce type n'est cryptographiquement sûr : la suite est prédictible pour qui en connaît l'état.

La conversion du réel tiré dans [0, 1) en décision « droite » se fait par le test u < p. Ce procédé introduit un biais de discrétisation borné par 2⁻³², totalement négligeable devant les fluctuations d'échantillonnage en √N observées ici.

VII — Les limites

Ce que la vraie planche ne fait pas

Une planche de Galton en bois n'est pas une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes. Le modèle binomial en est une idéalisation, et il vaut la peine d'énumérer précisément ce qui est passé sous silence.

• Le choc est déterministe. La mécanique d'une bille rigide heurtant un clou fixe est régie par des équations sans le moindre aléa. Ce qui rend le résultat imprévisible, c'est la sensibilité aux conditions initiales : un écart microscopique sur le point d'impact bascule la trajectoire. Le hasard de la planche est un hasard épistémique, produit du chaos déterministe, pas un hasard fondamental.
• Les chocs sont corrélés. Une bille qui aborde un clou avec une forte vitesse latérale vers la droite a une probabilité accrue de repartir à droite au clou suivant. L'indépendance est violée, et cette corrélation positive tend à élargir la distribution au-delà de npq — un phénomène de surdispersion mesurable sur les appareils réels.
• La probabilité n'est pas constante. Elle dépend de la vitesse d'arrivée, donc de la rangée : les premières rangées sont abordées lentement, les dernières rapidement. On sort du cadre ℬ(n, p) pour entrer dans celui d'une somme de Bernoulli non identiquement distribuées, où le théorème central limite reste valable sous les conditions de Lindeberg, mais où E et Var ne valent plus np et npq.
• Les événements exclus par le modèle existent. Rebond par-dessus un clou, saut d'une rangée, coincement, imperfection d'un clou, défaut d'horizontalité du bâti. Le choc entre deux billes, en revanche, est écarté par construction : le col ne laisse passer qu'une bille à la fois, et le débit est plafonné à ce que la vitesse de chute permet.
• Les gouttières ont un fond. Les colonnes de billes accumulées modifient la géométrie et peuvent renvoyer une bille tardive vers une gouttière voisine.

La conclusion à en tirer n'est pas que l'appareil est trompeur, mais qu'il illustre quelque chose de plus fort que ce qu'on lui prête. Une vraie planche produit une cloche remarquablement conforme malgré la violation de plusieurs hypothèses. C'est là une manifestation de l'universalité du théorème central limite, qui survit à des dépendances faibles et à des lois non identiques. La planche ne démontre pas la binomiale ; elle démontre la robustesse de la gaussienne.

Ce que Galton en a tiré d'autre

Le quinconce a servi à Galton bien au-delà de la cloche. En 1877, il conçoit un quinconce à deux étages, muni de compartiments intermédiaires escamotables : les billes s'y répartissent une première fois, puis chaque groupe redescend et s'étale à nouveau. Il vérifie ainsi que la superposition de plusieurs distributions normales de faible dispersion reconstitue exactement la distribution normale large de départ. Cette construction est le support mécanique de sa découverte de la régression vers la moyenne et de la notion de corrélation, formalisée ensuite par Karl Pearson.

Cet appareil-là est reproduit ici : cochez « Plancher intermédiaire ». Les billes s'arrêtent après les premières rangées, et l'on voit apparaître la distribution intermédiaire, étroite. Ouvrez le plancher : chaque compartiment se vide et son contenu s'étale sur le second étage. Chaque compartiment garde sa couleur jusque dans les gouttières finales, de sorte que l'histogramme large se lit comme l'empilement des paquets étroits, l'un décalé par rapport à l'autre. C'est très exactement ce que Galton voulait montrer.

Le curseur du premier étage rend ce point vérifiable : quelle que soit la coupure, un étage sur dix-neuf ou dix sur dix, la distribution finale est la même. Seule la décomposition change. C'est la propriété de stabilité de la loi binomiale par addition, et c'est elle qui explique pourquoi une cause peut être décomposée en sous-causes sans que le résultat agrégé s'en trouve modifié.