Mathématiques · Optimisation
Problèmes d'optimisation sous contrainte de budget
Deux résolutions détaillées, pas à pas — l'accent sur la méthode
Une même recette pour les deux exercices :
1. écrire la contrainte (le budget) ·
2. écrire la grandeur à maximiser ·
3. tout ramener à une seule inconnue ·
4. chercher le sommet de la parabole.
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Géométrie dans l'espace · Volume
L'abri pour la girafe
Un zoo accole à un bâtiment existant un abri ouvert rectangulaire :
deux parois verticales de 4 m de largeur et un toit plat.
Le toit coûte 40 €/m², les deux parois 15 €/m².
Avec un budget de 1200 €, quelles dimensions donnent le plus grand volume ?
Forme Comprendre la construction
L'abri est collé au mur existant (qu'on ne paie pas). Il reste 3 surfaces :
deux parois de côté (4 m de large, hauteur inconnue $h$) et un toit plat.
Les parois sont écartées d'une longueur $L$. Le « pavé » obtenu mesure donc
4 m (largeur) $\times\ L$ (longueur) $\times\ h$ (hauteur).
Les inconnues à trouver sont $h$ et $L$.
Étape 1 Écrire le coût (budget 1200 €)
Une paroi : $4\times h = 4h$ m² ; deux parois : $8h$ m² à 15 € → $\mathbf{120h}$ €.
Le toit : $4\times L = 4L$ m² à 40 € → $\mathbf{160L}$ €.
Le total vaut 1200 €. On divise par 40 pour alléger :
$$120h + 160L = 1200 \quad\Longrightarrow\quad 3h + 4L = 30$$
Contrainte
$3h + 4L = 30$ — le budget attache $h$ et $L$ l'un à l'autre.
Étape 2 Écrire le volume à maximiser
$$V = L \times 4 \times h = 4Lh$$
Étape 3 Tout ramener à une seule inconnue
De la contrainte : $4L = 30 - 3h$. Or $V = (4L)\times h$ contient justement ce bloc :
$$V = (30 - 3h)\,h = 30h - 3h^2$$
Idée clé. Remplacer $4L$ fait disparaître $L$ :
le volume ne dépend plus que de $h$. C'est ce qui rend le problème résoluble.
Étape 4 Trouver le maximum
$V(h) = 30h - 3h^2$ est une parabole tournée vers le bas : son sommet est un maximum.
$$V'(h) = 30 - 6h = 0 \quad\Longrightarrow\quad h = 5$$
Étape 5 Revenir chercher $L$
$$4L = 30 - 3(5) = 15 \quad\Longrightarrow\quad L = \tfrac{15}{4} = 3{,}75$$
Étape 6 Vérifier
Contrôle
Coût : $120(5) + 160(3{,}75) = 600 + 600 = 1200$ € ✓ ·
Volume : $V = 4\times 3{,}75 \times 5 = 75$ m³.
Réponse — abri de volume maximal
| Largeur (donnée) | 4 m |
| Hauteur des parois $h$ | 5 m |
| Longueur $L$ | 3,75 m |
| Volume maximal | 75 m³ |
À l'optimum : 600 € sur le toit et 600 € sur les parois — les deux dépenses s'équilibrent.
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Géométrie plane · Aire
Le cabinet médical
Un médecin aménage un cabinet (un bureau + une salle d'attente).
Pour les murs et la cloison de séparation, il choisit des cloisons à 45 € le mètre
(mesures prises au sol). Avec 2250 €,
quelles dimensions au sol donnent le plus d'espace ?
Lecture Comprendre la figure
Vue de dessus : le sol est un rectangle coupé en deux par une cloison.
On nomme $x$ la profondeur (côté repéré sur le schéma) et $L$ la longueur.
Attention : on paie le mètre de longueur de cloison, pas le m² — la hauteur des murs ne joue aucun rôle.
Étape 1 Longueur totale de cloison
Le contour : deux grands côtés $2L$, deux petits côtés $2x$. Plus la cloison du milieu,
qui mesure $x$. Au total :
$$2L + 2x + x = 2L + 3x$$
Le point délicat. Le petit côté apparaît
trois fois : les deux extrémités et la cloison centrale → d'où le $3x$.
Étape 2 Écrire le budget (2250 €)
Chaque mètre coûte 45 €. On divise par 45, et comme $2250 \div 45 = 50$ :
$$45\,(2L + 3x) = 2250 \quad\Longrightarrow\quad 2L + 3x = 50$$
Contrainte
$2L + 3x = 50$ — le budget attache $L$ et $x$.
Étape 3 Écrire l'aire à maximiser
$$A = L \times x$$
Étape 4 Ramener à une seule inconnue
De la contrainte : $2L = 50 - 3x$, donc $L = \dfrac{50 - 3x}{2}$. On remplace :
$$A = \frac{50 - 3x}{2}\times x = \frac{50x - 3x^2}{2}$$
Étape 5 Trouver le maximum
$$A'(x) = \frac{50 - 6x}{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \approx 8{,}33$$
Étape 6 Revenir chercher $L$
$$2L = 50 - 3\times\tfrac{25}{3} = 25 \quad\Longrightarrow\quad L = \tfrac{25}{2} = 12{,}5$$
Étape 7 Vérifier
Contrôle
Cloison : $2(12{,}5) + 3(8{,}33) = 50$ m → $50 \times 45 = 2250$ € ✓ ·
Aire : $A = 12{,}5 \times \tfrac{25}{3} = \tfrac{625}{6} \approx 104{,}17$ m².
Réponse — cabinet de surface maximale
| Profondeur $x$ | 25/3 ≈ 8,33 m |
| Longueur $L$ | 12,5 m |
| Surface maximale | ≈ 104,17 m² |
À l'optimum : $2L = 25$ et $3x = 25$ — la contrainte se partage en deux parts égales.