Une fonction du 2ⁿᵈ degré s'écrit $\;f(x) = ax^2 + bx + c\;$ : il y a 3 inconnues ($a$, $b$, $c$).
Pour les trouver, il faut 3 informations → c'est le rôle des 3 points. « Passer par le point $(x\,;\,y)$ » signifie simplement $f(x) = y$.
Chaque point donne une équation → 3 points = 3 équations → on résout le système.
$f(0) = a\cdot0^2 + b\cdot0 + c = c$, et ce point vaut 1 :
$$f(0) = 1 \;\Longrightarrow\; c = 1$$Point $(1\,;3)$ : $\;a+b+c=3$. Comme $c=1$ :
$$a + b = 2 \qquad\textbf{(A)}$$Point $(2\,;1)$ : $\;4a+2b+c=1$. Comme $c=1$, puis on divise par 2 :
$$2a + b = 0 \qquad\textbf{(B)}$$On soustrait (A) à (B) pour éliminer $b$ :
$$(2a+b)-(a+b) = 0-2 \;\Longrightarrow\; a = -2$$Puis avec (A) : $\;b = 2 - a = 2-(-2) = 4$.
Exactement comme à l'entraînement :
$$f(0) = c = 10{,}07$$Point $(80\,;100)$, avec $80^2 = 6400$ et $c=10{,}07$ :
$$6400\,a + 80\,b = 89{,}93 \qquad\textbf{(A)}$$Point $(40{,}16\,;77{,}33)$, avec $40{,}16^2 \approx 1612{,}83$ et $c=10{,}07$ :
$$1612{,}83\,a + 40{,}16\,b = 67{,}26 \qquad\textbf{(B)}$$On isole $b$ dans (A) (division par 80) :
$$b = \frac{89{,}93 - 6400\,a}{80} = 1{,}1241 - 80\,a$$On remplace dans (B) :
$$1612{,}83\,a + 40{,}16\,(1{,}1241 - 80\,a) = 67{,}26$$ $$1612{,}83\,a + 45{,}14 - 3212{,}8\,a = 67{,}26$$ $$-1599{,}97\,a = 22{,}12 \;\Longrightarrow\; a \approx -0{,}0138$$On revient chercher $b$ :
$$b = 1{,}1241 - 80\,(-0{,}0138) \approx 2{,}23$$