Mathématiques · Problèmes textuels
Exercices 32 à 35
Mise en équation et résolution détaillée
🔑 La méthode générale à retenir
- Poser une variable (identifier ce que l'on cherche).
- Traduire l'énoncé par une équation.
- Résoudre l'équation mathématiquement.
- Vérifier que la réponse a un sens (ex: rejeter une longueur négative).
- Répondre avec une phrase complète et les unités.
32
Vitesse, distance, temps
Vitesse d'un bateau
Deux villes A et B sont situées le long d'un fleuve. La ville A se trouve à 42 km en aval de la ville B. Un bateau fait la navette.
Sachant que la vitesse du courant est de 4 km/h et que la différence de durée des trajets entre l'aller et le retour est de 1 h 12 min, calcule la vitesse du bateau.
Étape 1 Poser la variable et les vitesses
Soit $v$ la vitesse propre du bateau en km/h.
En descente (avec le courant) : vitesse = $v + 4$
En montée (contre le courant) : vitesse = $v - 4$
Étape 2 Traduire les durées ($T = \frac{D}{V}$)
Durée en descente : $\frac{42}{v + 4}$
Durée en montée : $\frac{42}{v - 4}$
La différence est de 1 h 12 min, soit 1,2 heure.
$$ \frac{42}{v - 4} - \frac{42}{v + 4} = 1,2 $$
Étape 3 Résoudre l'équation
$$ \frac{42(v + 4) - 42(v - 4)}{(v - 4)(v + 4)} = 1,2 $$
$$ \frac{42(8)}{v^2 - 16} = 1,2 $$
$$ 336 = 1,2(v^2 - 16) $$
$$ 336 = 1,2v^2 - 19,2 $$
$$ 355,2 = 1,2v^2 \implies v^2 = 296 $$
$$ v = \sqrt{296} \approx 17,2 $$
Réponse
La vitesse propre du bateau est d'environ 17,2 km/h.
33
Partage de frais
Nombre d'élèves
Les élèves d'une classe doivent payer 576 € pour un bus.
Deux élèves ne pouvant pas payer, les autres ont à leur charge 1,20 € de plus que prévu. Détermine le nombre d'élèves de la classe.
Étape 1 Poser l'équation
Soit $n$ le nombre total d'élèves.
Prix initial par élève : $\frac{576}{n}$
Nouveau prix payé par les $n-2$ élèves restants : $\frac{576}{n} + 1,20$
Le total payé par les élèves restants doit toujours faire 576 € :
$$ (n - 2) \left( \frac{576}{n} + 1,20 \right) = 576 $$
Étape 2 Résoudre l'équation
$$ 576 + 1,20n - \frac{1152}{n} - 2,40 = 576 $$
$$ 1,20n - 2,40 - \frac{1152}{n} = 0 $$
On multiplie tout par $n$ puis par 10 :
$$ 12n^2 - 24n - 11520 = 0 $$
On divise par 12 pour simplifier :
$$ n^2 - 2n - 960 = 0 $$
En factorisant ou en calculant le discriminant, on trouve $(n - 32)(n + 30) = 0$.
Les solutions sont $n = 32$ et $n = -30$. On rejette la solution négative.
Réponse
Il y a 32 élèves dans la classe.
34
Géométrie
Rectangle avec périmètre et aire
Détermine, si cela est possible, les dimensions d'un rectangle dont le périmètre vaut 8 cm et l'aire 5 cm².
Étape 1 Traduire l'énoncé
Soient $x$ et $y$ les dimensions.
Périmètre : $2x + 2y = 8 \implies x + y = 4 \implies y = 4 - x$
Aire : $x \cdot y = 5$
Étape 2 Mise en équation et résolution
On remplace $y$ dans la formule de l'aire :
$$ x(4 - x) = 5 \implies -x^2 + 4x - 5 = 0 $$
$$ x^2 - 4x + 5 = 0 $$
Calculons le discriminant : $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$.
Comme $\Delta < 0$, il n'y a aucune solution réelle.
Réponse
C'est impossible : aucune dimension réelle ne convient.
35
Achat et revente
Prix d'achat d'un vase
Un brocanteur achète un lot de vases pour 360 €.
Trois vases sont cassés. Il revend les autres en augmentant le prix unitaire de 5 € et fait un bénéfice global de 15 €.
Combien chaque vase lui avait-il coûté initialement ?
Étape 1 Poser l'équation
Soit $n$ le nombre de vases achetés au départ.
Prix d'achat unitaire : $\frac{360}{n}$
Nouveau prix de vente : $\frac{360}{n} + 5$
Il revend $n - 3$ vases pour un total de $360 + 15 = 375$ € :
$$ (n - 3) \left( \frac{360}{n} + 5 \right) = 375 $$
Étape 2 Résoudre l'équation
$$ 360 + 5n - \frac{1080}{n} - 15 = 375 $$
$$ 5n - 30 - \frac{1080}{n} = 0 $$
On multiplie par $n$ puis on divise par 5 :
$$ 5n^2 - 30n - 1080 = 0 \implies n^2 - 6n - 216 = 0 $$
Calcul du discriminant : $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(-216) = 36 + 864 = 900$.
$n = \frac{6 \pm 30}{2} \implies n = 18$ ou $n = -12$. On garde la valeur positive : 18 vases.
Le prix d'achat d'un vase était de $360 / 18 = 20$ €.
Réponse
Chaque vase avait coûté initialement 20 €.