Mathématiques · Algèbre
Domaine, CE & étude de signe
Exercices résolus : équations rationnelles et trinômes
🔑 Le réflexe « déduire l'autre solution »
Quand on connaît une racine $x_1$ d'un trinôme $ax^2+bx+c$, on trouve l'autre grâce au produit des racines :
$$x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \quad (\text{ou la somme } x_1 + x_2 = -\frac{b}{a})$$
Pas besoin de discriminant : une simple division suffit.
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Équation rationnelle
Résoudre une équation avec dénominateurs
Résoudre : $\displaystyle \frac{x-1}{x-2} + \frac{x-3}{x-1} = 2 - \frac{2}{x-1}$
Étape 1 Conditions d'existence (CE)
Les dénominateurs doivent être non nuls : $x-2 \neq 0$ et $x-1 \neq 0$.
Domaine : $x \neq 1$ et $x \neq 2$, c'est-à-dire $D = \mathbb{R} \setminus \{1 ; 2\}$.
Étape 2 Même dénominateur, puis égalité
Dénominateur commun : $(x-2)(x-1)$. En égalant les numérateurs :
$$(x-1)^2 + (x-3)(x-2) = 2(x-2)(x-1) - 2(x-2)$$
Étape 3 Développer chaque côté
À gauche : $(x^2-2x+1) + (x^2-5x+6) = 2x^2-7x+7$.
À droite : $2(x^2-3x+2) - (2x-4) = 2x^2-8x+8$.
En égalant, les $2x^2$ se simplifient :
$$-7x+7 = -8x+8 \;\Longrightarrow\; x = 1$$
Étape 4 Confronter aux conditions d'existence
La seule valeur trouvée est $x=1$... mais $x=1$ est exclu du domaine !
Leçon
Toujours vérifier la solution trouvée contre les CE : ici elle « tombe » pile sur une valeur interdite.
Conclusion
Aucune valeur admissible ne convient : $S = \emptyset$
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Vérifier une racine · En déduire l'autre
L'équation $x^2+2x=3$
A Tester $x=-3$
On met l'équation sous la forme $x^2+2x-3=0$, puis on remplace :
$$(-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$$
Le résultat est 0 : oui, $-3$ est bien une solution.
B En déduire l'autre racine
Ici $a=1$, $c=-3$, donc le produit des racines vaut $\frac{c}{a} = -3$ :
$$x_1 \times x_2 = -3 \;\Longrightarrow\; (-3) \times x_2 = -3 \;\Longrightarrow\; x_2 = 1$$
Vérification
$1^2 + 2(1) - 3 = 0$ ✓
Réponse
Les deux solutions sont $-3$ et $1$.
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Mise en équation · Somme et produit
Deux nombres : différence et produit
Déterminer deux nombres dont la différence vaut 15 et le produit vaut -36.
Étape 1 Poser l'équation
Appelons $x$ le plus grand ; l'autre vaut alors $x-15$. Leur produit est $-36$ :
$$x(x-15) = -36 \;\Longrightarrow\; x^2 - 15x + 36 = 0$$
Étape 2 Résoudre le trinôme
$\Delta = (-15)^2 - 4(1)(36) = 225 - 144 = 81$ (donc $\sqrt{\Delta} = 9$)
$$x = \frac{15 \pm 9}{2} \;\Longrightarrow\; x = 12 \text{ ou } x = 3$$
Étape 3 Reconstituer les couples
Si $x=12$, l'autre nombre est $12-15 = -3$.
Si $x=3$, l'autre nombre est $3-15 = -12$.
Vérification
$12 - (-3) = 15$ et $12 \times (-3) = -36$ ✓
$3 - (-12) = 15$ et $3 \times (-12) = -36$ ✓
Réponse
Deux possibilités : $\{12 ; -3\}$ ou $\{3 ; -12\}$.
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Vérifier une racine · En déduire l'autre
L'équation $2x^2+7x-4=0$
A Tester $x=\frac{1}{2}$
$$2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 7\left(\frac{1}{2}\right) - 4 = 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{7}{2} - 4 = \frac{1}{2} + \frac{7}{2} - 4 = 4 - 4 = 0$$
Oui, $\frac{1}{2}$ est une solution.
B En déduire l'autre racine
Ici $a=2$, $c=-4$, donc le produit des racines vaut $\frac{c}{a} = \frac{-4}{2} = -2$ :
$$x_1 \times x_2 = -2 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2} \times x_2 = -2 \;\Longrightarrow\; x_2 = -4$$
Vérification
$2(-4)^2 + 7(-4) - 4 = 32 - 28 - 4 = 0$ ✓
Réponse
Les deux solutions sont $\frac{1}{2}$ et $-4$.