La trigonométrie : tous les exercices expliqués

1. Rappeler l'égalité de référence

   Un demi‑tour vaut \(180^\circ\) et aussi \(\pi\) rad. Donc \(180^\circ=\pi\) rad.

2. En déduire la valeur d'un degré

   On divise les deux membres par \(180\) : \(1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\) rad. Un degré est donc une petite fraction de \(\pi\).

3. Multiplier par le nombre de degrés

   \[120^\circ = 120\times 1^\circ = 120\times\frac{\pi}{180}\ \text{rad}=\frac{120\pi}{180}\ \text{rad}\]

4. Simplifier la fraction

   Le plus grand diviseur commun de \(120\) et \(180\) est \(60\) : \(120=2\times60\) et \(180=3\times60\).

   \[\frac{120\pi}{180}=\frac{2\times60\,\pi}{3\times60}=\frac{2\pi}{3}\]

5. Vérifier l'ordre de grandeur

   \(\frac{2\pi}{3}\approx\frac{2\times3{,}1416}{3}\approx2{,}094\) rad. Comme \(1\) rad \(\approx57{,}3^\circ\), on a \(2{,}094\times57{,}3\approx120^\circ\). Cohérent. Autre contrôle : \(120^\circ\) est entre \(90^\circ=\frac{\pi}{2}\) et \(180^\circ=\pi\), et \(\frac{2\pi}{3}\) est bien entre \(\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{6}\) et \(\pi=\frac{6\pi}{6}\) puisque \(\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{6}\).

1. Rappeler la valeur d'un radian

   De \(\pi\) rad \(=180^\circ\), on divise par \(\pi\) : \(1\) rad \(=\dfrac{180}{\pi}\,^\circ\).

2. Multiplier par la mesure en radians

   \[\frac{3\pi}{4}\ \text{rad}=\frac{3\pi}{4}\times\frac{180}{\pi}\,^\circ\]

3. Simplifier \(\pi\)

   Le \(\pi\) du numérateur et celui du dénominateur s'annulent : il reste \(\dfrac{3\times180}{4}\).

4. Calculer

   \[\frac{3\times180}{4}=\frac{540}{4}=135\]

   On peut aussi simplifier avant de multiplier : \(\frac{180}{4}=45\), puis \(3\times45=135\).

5. Vérifier

   \(\frac{3\pi}{4}\) est les trois quarts de \(\pi\), c'est‑à‑dire les trois quarts d'un demi‑tour : \(\frac34\times180^\circ=135^\circ\). Cohérent.

1. Comprendre le signe de l'angle

   Un angle négatif se mesure dans le sens horaire à partir de \((1;0)\). Tourner de \(30^\circ\) vers le bas amène dans le quadrant IV. Équivalent positif : \(-30^\circ+360^\circ=330^\circ\), bien compris entre \(270^\circ\) et \(360^\circ\).

2. Identifier l'angle de référence

   L'angle de référence est \(30^\circ=\frac{\pi}{6}\), un angle de la table.

3. Appliquer la parité du cosinus

   La fonction cosinus est paire : \(\cos(-\theta)=\cos\theta\) pour tout \(\theta\). Donc

   \[\cos(-30^\circ)=\cos(30^\circ)\]

4. Lire la table

   \[\cos(30^\circ)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\]

5. Contrôler avec le quadrant

   Dans le quadrant IV, le cosinus est positif (le point est à droite de l'axe \(Oy\)). Notre résultat \(\frac{\sqrt3}{2}\gt0\) est cohérent.

1. Convertir mentalement pour situer l'angle

   \(\frac{2\pi}{3}=\frac23\times180^\circ=120^\circ\) (c'est l'exemple A1). Un angle de \(120^\circ\) est entre \(90^\circ\) et \(180^\circ\) : quadrant II.

   Sans convertir : \(\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{6}\lt\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{6}\lt\pi=\frac{6\pi}{6}\).

2. Écrire l'angle avec son supplémentaire

   On cherche \(\theta_0\) tel que \(\frac{2\pi}{3}=\pi-\theta_0\). Donc \(\theta_0=\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{3\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\).

   \[\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{3}\]

3. Appliquer la formule du supplémentaire

   Pour tout \(\theta\) : \(\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\) (symétrie d'axe \(Oy\), l'abscisse change de signe).

   \[\cos\frac{2\pi}{3}=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}\]

4. Lire la table

   \[\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12\]

5. Contrôler avec le quadrant

   Quadrant II : cosinus négatif. \(-\frac12\lt0\), cohérent.

1. Situer l'angle

   \(\frac{7\pi}{6}=\frac76\times180^\circ=210^\circ\). Entre \(180^\circ\) et \(270^\circ\) : quadrant III. En sixièmes : \(\pi=\frac{6\pi}{6}\lt\frac{7\pi}{6}\lt\frac{9\pi}{6}=\frac{3\pi}{2}\).

2. Décomposer l'angle

   \(\frac{7\pi}{6}=\frac{6\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}\). L'angle de référence est \(\theta_0=\frac{\pi}{6}\).

3. Appliquer la périodicité de la tangente

   La tangente est \(\pi\)-périodique : \(\tan(\pi+\theta)=\tan\theta\). En effet \(\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta\) et \(\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta\), et le quotient de deux nombres opposés est inchangé :

   \[\tan(\pi+\theta)=\frac{-\sin\theta}{-\cos\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta\]

   Donc \(\tan\frac{7\pi}{6}=\tan\frac{\pi}{6}\).

4. Lire la table

   \[\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{3}\qquad\text{(c'est aussi }\tfrac{1}{\sqrt3}\text{)}\]

5. Retrouver le résultat par le quotient sinus/cosinus

   \(\sin\frac{7\pi}{6}=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac12\) et \(\cos\frac{7\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}\). Alors

   \[\tan\frac{7\pi}{6}=\frac{-\frac12}{-\frac{\sqrt3}{2}}=\frac12\times\frac{2}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\]

   (On rend le dénominateur rationnel en multipliant haut et bas par \(\sqrt3\) : \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\).)

6. Contrôler le signe

   Quadrant III : sinus et cosinus tous deux négatifs, donc tangente positive. \(\frac{\sqrt3}{3}\gt0\), cohérent.

1. Situer l'angle

   \(-\frac{3\pi}{4}=-135^\circ\) : on tourne de \(135^\circ\) dans le sens horaire. Équivalent positif : \(-\frac{3\pi}{4}+2\pi=-\frac{3\pi}{4}+\frac{8\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}=225^\circ\). Entre \(180^\circ\) et \(270^\circ\) : quadrant III, où le sinus est négatif.

2. Utiliser l'imparité du sinus

   Le sinus est impair : \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\). Donc

   \[\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=-\sin\frac{3\pi}{4}\]

3. Ramener \(\frac{3\pi}{4}\) à un angle de la table

   \(\frac{3\pi}{4}=\frac{4\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{4}\). Le sinus du supplémentaire est inchangé : \(\sin(\pi-\theta)=\sin\theta\).

   \[\sin\frac{3\pi}{4}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\]

4. Assembler

   \[\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=-\sin\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}\]

5. Autre chemin : par l'angle équivalent \(\frac{5\pi}{4}\)

   \(\frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}\), et \(\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta\), donc \(\sin\frac{5\pi}{4}=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}\). Même résultat, ce qui confirme le calcul.

6. Contrôler le signe

   Quadrant III : sinus négatif. Cohérent.

1. Rappeler la définition

   \[\operatorname{cotan}\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{1}{\tan\theta},\qquad\text{définie si }\sin\theta\ne0\ (\theta\ne k\pi)\]

   Ici \(\frac{5\pi}{4}\) n'est pas un multiple de \(\pi\), donc la cotangente est bien définie.

2. Situer l'angle

   \(\frac{5\pi}{4}=225^\circ\), quadrant III (\(\pi=\frac{4\pi}{4}\lt\frac{5\pi}{4}\lt\frac{6\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}\)). Dans ce quadrant, \(\sin\lt0\) et \(\cos\lt0\), donc leur quotient est positif.

3. Décomposer l'angle

   \(\frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}\). Angle de référence : \(\theta_0=\frac{\pi}{4}\).

4. Calculer sinus et cosinus

   \[\cos\frac{5\pi}{4}=-\cos\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad\sin\frac{5\pi}{4}=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}\]

5. Faire le quotient

   \[\operatorname{cotan}\frac{5\pi}{4}=\frac{-\frac{\sqrt2}{2}}{-\frac{\sqrt2}{2}}=1\]

6. Chemin plus rapide par la périodicité

   Comme la tangente, la cotangente est \(\pi\)-périodique : \(\operatorname{cotan}(\pi+\theta)=\operatorname{cotan}\theta\). Donc \(\operatorname{cotan}\frac{5\pi}{4}=\operatorname{cotan}\frac{\pi}{4}=1\) (table). Même résultat.

1. Mettre en correspondance avec la forme générale

   La forme générale est \(f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)\). Par identification terme à terme :

   \[A=3,\qquad\omega=2,\qquad\varphi=-\frac{\pi}{2}\]
   PiègeLe déphasage est \(\varphi=-\frac{\pi}{2}\) (avec son signe), pas \(+\frac{\pi}{2}\) : la forme générale contient un « + », et \(2x-\frac{\pi}{2}=2x+\left(-\frac{\pi}{2}\right)\).

2. Amplitude

   \(A=3\) : la courbe oscille entre \(-3\) et \(3\) au lieu de \(-1\) et \(1\). En effet \(-1\le\sin(\cdot)\le1\) donc, en multipliant par \(3\), \(-3\le f(x)\le3\). L'écart maximal à l'axe d'oscillation (l'axe \(Ox\)) est \(3\).

3. Pulsation et période

   \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\) donc \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi\).

   Interprétation : \(f\) fait une oscillation complète tous les \(\pi\), soit deux oscillations sur un intervalle de longueur \(2\pi\) là où \(\sin\) n'en fait qu'une. On le vérifie par \(2\pi\)-périodicité du sinus :

   \[f(x+\pi)=3\sin\left(2(x+\pi)-\frac{\pi}{2}\right)=3\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}+2\pi\right)\]\[\phantom{f(x+\pi)}=3\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=f(x)\]

4. Déphasage et décalage horizontal

   Le décalage horizontal vaut \(-\dfrac{\varphi}{\omega}=-\dfrac{-\pi/2}{2}=\dfrac{\pi}{4}\).

   Un décalage positif signifie un glissement vers la droite de \(\frac{\pi}{4}\). Autrement dit, le « départ » de la sinusoïde (passage par \(0\) en montant), qui est en \(x=0\) pour \(\sin x\), se trouve en \(x=\frac{\pi}{4}\) pour \(f\).

   Pourquoi diviser par \(\omega\)On factorise : \(2x-\frac{\pi}{2}=2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\). Donc \(f(x)=3\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)\) : c'est la fonction \(x\mapsto3\sin(2x)\) décalée de \(\frac{\pi}{4}\) vers la droite. Le déphasage \(\varphi\) se lit « à l'intérieur » de \(\omega x\), il faut donc le ramener à l'échelle de \(x\) en divisant par \(\omega\).

5. Localiser quelques points caractéristiques

   On résout \(2x-\frac{\pi}{2}=\) (valeur remarquable) :

   • \(f(x)=0\) en montant quand \(2x-\frac{\pi}{2}=0\iff x=\frac{\pi}{4}\).
   • Maximum \(f=3\) quand \[2x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\iff 2x=\pi\iff x=\frac{\pi}{2}\]
   • \(f(x)=0\) en descendant quand \[2x-\frac{\pi}{2}=\pi\iff 2x=\frac{3\pi}{2}\iff x=\frac{3\pi}{4}\]
   • Minimum \(f=-3\) quand \[2x-\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}\iff 2x=2\pi\iff x=\pi\]
   • En \(x=0\) : \(f(0)=3\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=3\times(-1)=-3\) : la courbe part d'un minimum, ce que montre bien le graphique.

6. Domaine, image, parité

   Domaine : \(\mathbb R\) (le sinus est défini partout). Ensemble image : \([-3;3]\). Période : \(\pi\).

   Parité : avec les angles associés, \(\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-\cos\theta\) (imparité du sinus puis angle complémentaire). Donc \(f(x)=-3\cos(2x)\), et \[f(-x)=-3\cos(-2x)=-3\cos(2x)=f(x)\] \(f\) est donc paire, alors que \(\sin\) est impaire. Le déphasage a changé la parité.

1. Vérifier que l'équation a des solutions

   Le sinus prend ses valeurs dans \([-1;1]\). Comme \(\frac12\in[-1;1]\), il existe des solutions.

2. Déterminer l'angle de référence

   \[\alpha=\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}\]

   Justification : \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac12\) (table) et \(\frac{\pi}{6}\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\), l'intervalle d'arrivée de \(\arcsin\). Ces deux conditions sont nécessaires.

3. Première famille : l'angle de référence lui‑même

   Le sinus est \(2\pi\)-périodique, donc tous les angles \(\frac{\pi}{6}+2k\pi\) ont le même sinus que \(\frac{\pi}{6}\) :

   \[x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z\]

4. Deuxième famille : le symétrique par rapport à \(Oy\)

   Deux points du cercle ont la même ordonnée s'ils sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Le symétrique de \(\alpha\) est \(\pi-\alpha\) (car \(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)).

   \[x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{6\pi}{6}-\frac{\pi}{6}+2k\pi\]\[x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\]

5. Vérifier la seconde famille

   \(\sin\frac{5\pi}{6}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12\). Et \(\frac{5\pi}{6}=150^\circ\) est dans le quadrant II où le sinus est positif. Cohérent.

6. Écrire l'ensemble des solutions

   \[S=\left\{\frac{\pi}{6}+2k\pi\ ;\ \frac{5\pi}{6}+2k\pi\ \middle|\ k\in\mathbb Z\right\}\]

1. Vérifier l'existence de solutions

   \(-\frac12\in[-1;1]\) : l'équation a des solutions.

2. Déterminer l'angle de référence

   \[\alpha=\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}\]

   Justification : on a calculé en B2 que \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12\), et \(\frac{2\pi}{3}\in[0;\pi]\), l'intervalle d'arrivée de \(\arccos\). Remarque : \(\arccos\) d'un nombre négatif est toujours dans \(\left]\frac{\pi}{2};\pi\right]\), jamais négatif.

3. Première famille

   \[x=\alpha+2k\pi=\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z\]

4. Deuxième famille : le symétrique par rapport à \(Ox\)

   Deux points du cercle ont la même abscisse s'ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Le symétrique de \(\alpha\) est \(-\alpha\) (car \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)).

   \[x=-\alpha+2k\pi=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\]

5. Réécrire la seconde famille avec un représentant positif

   En prenant \(k=1\) dans \(-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\) : \(-\frac{2\pi}{3}+2\pi=-\frac{2\pi}{3}+\frac{6\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\). Comme \(k\) parcourt tous les entiers, l'ensemble \(\{-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\}\) est le même que \(\{\frac{4\pi}{3}+2k\pi\}\) : seul l'indice \(k\) est décalé de \(1\).

6. Vérifier

   \(\cos\frac{4\pi}{3}=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12\). Et \(\frac{4\pi}{3}=240^\circ\), quadrant III, cosinus négatif. Cohérent.

7. Écrire l'ensemble des solutions

   \[S=\left\{\frac{2\pi}{3}+2k\pi\ ;\ \frac{4\pi}{3}+2k\pi\ \middle|\ k\in\mathbb Z\right\}\]

1. Conditions d'existence

   \(\tan x\) n'est définie que si \(\cos x\ne0\), c'est‑à‑dire \(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\). Par ailleurs la tangente prend toutes les valeurs réelles, donc \(\tan x=\sqrt3\) a bien des solutions.

2. Déterminer l'angle de référence

   \[\alpha=\arctan\sqrt3=\frac{\pi}{3}\]

   Justification : \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3\) (table) et \(\frac{\pi}{3}\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[\).

3. Utiliser la périodicité \(\pi\)

   La tangente est \(\pi\)-périodique (voir B3, étape 3). Toutes les solutions s'obtiennent donc à partir de \(\alpha\) en ajoutant des multiples de \(\pi\) (et non de \(2\pi\)) :

   \[x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\quad k\in\mathbb Z\]

4. Comprendre pourquoi il n'y a qu'une famille

   Pour \(\sin\) et \(\cos\) on avait deux familles espacées de \(2\pi\). Ici, la « seconde » solution sur le cercle est le point diamétralement opposé \(\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}\) : elle est déjà contenue dans \(\frac{\pi}{3}+k\pi\) (prendre \(k=1\)). Les deux familles fusionnent en une seule.

5. Vérifier les conditions d'existence

   \(\frac{\pi}{3}+k\pi\) n'est jamais de la forme \(\frac{\pi}{2}+k'\pi\) (il faudrait \(\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+m\pi\), soit \(m=-\frac16\), impossible pour un entier). Toutes les solutions trouvées sont admissibles.

6. Vérifier numériquement

   \(\tan\frac{4\pi}{3}=\frac{\sin(4\pi/3)}{\cos(4\pi/3)}=\frac{-\sqrt3/2}{-1/2}=\sqrt3\). Cohérent.

1. Conditions d'existence

   \(\tan x\) existe si \(\cos x\ne0\), donc \(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\). On résout dans \(D=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}\).

2. Remplacer la tangente par sa définition

   \[\sin x=\tan x\iff\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}\]

3. Tout ramener dans un membre

   Pour ne perdre aucune solution, on ne divise jamais par une expression qui peut s'annuler (ici \(\sin x\)). On soustrait :

   \[\sin x-\frac{\sin x}{\cos x}=0\]

4. Factoriser par \(\sin x\)

   \[\sin x\left(1-\frac{1}{\cos x}\right)=0\]

   Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul :

   \[\sin x=0\qquad\text{ou}\qquad1-\frac{1}{\cos x}=0\]

5. Résoudre \(\sin x=0\)

   \(\alpha=\arcsin0=0\). Familles : \(x=0+2k\pi\) ou \(x=\pi-0+2k\pi=\pi+2k\pi\). Réunies, ce sont tous les multiples de \(\pi\) :

   \[x=k\pi,\quad k\in\mathbb Z\]

6. Résoudre \(1-\dfrac{1}{\cos x}=0\)

   \(\dfrac{1}{\cos x}=1\iff\cos x=1\). Alors \(\alpha=\arccos1=0\), et \(x=\pm0+2k\pi=2k\pi\).

7. Réunir et confronter aux conditions d'existence

   Les solutions \(2k\pi\) sont déjà incluses dans \(k\pi\) (ce sont les multiples pairs de \(\pi\)). L'ensemble des solutions candidates est donc \(\{k\pi\}\). Aucun de ces angles n'est de la forme \(\frac{\pi}{2}+k\pi\) : toutes sont admissibles.

8. Vérifier

   \(x=0\) : \(\sin0=0\) et \(\tan0=0\). \(x=\pi\) : \(\sin\pi=0\) et \(\tan\pi=\frac{0}{-1}=0\). Cohérent.

1. Repérer le facteur commun

   \(\sin^2x\) signifie \((\sin x)^2=\sin x\cdot\sin x\). Les deux termes contiennent \(\sin x\).

2. Factoriser

   \[\sin^2x-\sin x=\sin x\,(\sin x-1)\]

   Contrôle en redéveloppant : \(\sin x\cdot\sin x-\sin x\cdot1=\sin^2x-\sin x\).

3. Appliquer la règle du produit nul

   \[\sin x\,(\sin x-1)=0\iff\sin x=0\quad\text{ou}\quad\sin x=1\]
   PiègeDiviser par \(\sin x\) pour obtenir « \(\sin x=1\) » fait disparaître toutes les solutions de \(\sin x=0\).

4. Résoudre \(\sin x=0\)

   \(\alpha=0\) ; \(x=2k\pi\) ou \(x=\pi+2k\pi\), soit \(x=k\pi\).

5. Résoudre \(\sin x=1\)

   \(\alpha=\arcsin1=\frac{\pi}{2}\). Familles : \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) ou \(x=\pi-\frac{\pi}{2}+2k\pi=\frac{\pi}{2}+2k\pi\). Les deux familles coïncident : le point d'ordonnée \(1\) est unique sur le cercle (le sommet), il est son propre symétrique par rapport à \(Oy\).

6. Réunir

   \[S=\left\{k\pi\ ;\ \frac{\pi}{2}+2k\pi\ \middle|\ k\in\mathbb Z\right\}\]

7. Vérifier

   \(x=\frac{\pi}{2}\) : \(1^2-1=0\). \(x=\pi\) : \(0^2-0=0\). \(x=\frac{3\pi}{2}\) (non solution attendue) : \((-1)^2-(-1)=2\ne0\). Cohérent.

1. Reconnaître une équation du second degré « en \(\sin x\) »

   L'inconnue n'apparaît qu'à travers \(\sin x\), au carré et à la puissance 1. On pose

   \[t=\sin x,\qquad\text{avec }t\in[-1;1]\]

   La contrainte \(t\in[-1;1]\) vient de \(-1\le\sin x\le1\) : une valeur de \(t\) hors de cet intervalle ne pourra correspondre à aucun \(x\).

2. Réécrire l'équation

   \[2t^2-3t+1=0\]

3. Calculer le discriminant

   \(a=2\), \(b=-3\), \(c=1\).

   \[\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times2\times1=9-8=1\]

   \(\Delta\gt0\) : deux racines réelles distinctes.

4. Calculer les racines

   \[t=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3\pm1}{4}\]\[t_1=\frac{4}{4}=1,\qquad t_2=\frac{2}{4}=\frac12\]

   Contrôle : \(2t^2-3t+1=(2t-1)(t-1)\) ; en développant : \(2t^2-2t-t+1=2t^2-3t+1\).

5. Trier les racines selon la contrainte

   \(t_1=1\in[-1;1]\) et \(t_2=\frac12\in[-1;1]\) : les deux sont acceptables.

6. Revenir à \(x\) : résoudre \(\sin x=1\)

   Comme en E2 : \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\).

7. Revenir à \(x\) : résoudre \(\sin x=\frac12\)

   C'est l'exemple D1 : \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\).

8. Réunir et vérifier

   \[S=\left\{\frac{\pi}{6}+2k\pi\ ;\ \frac{\pi}{2}+2k\pi\ ;\ \frac{5\pi}{6}+2k\pi\ \middle|\ k\in\mathbb Z\right\}\]

   Vérification avec \(x=\frac{\pi}{6}\) : \(2\times\left(\frac12\right)^2-3\times\frac12+1=\frac12-\frac32+1=0\). Avec \(x=\frac{\pi}{2}\) : \(2-3+1=0\). Cohérent.

1. Introduire une inconnue auxiliaire

   L'équation porte sur l'angle \(10x\), pas sur \(x\). On pose \(u=10x\) et on résout d'abord \(\cos u=-1\).

2. Vérifier l'existence de solutions

   \(-1\in[-1;1]\) : oui. C'est même la valeur minimale du cosinus, atteinte uniquement au point \((-1;0)\) du cercle.

3. Angle de référence

   \[\alpha=\arccos(-1)=\pi\qquad(\cos\pi=-1\ \text{et}\ \pi\in[0;\pi])\]

4. Les deux familles pour \(u\)

   \(u=\alpha+2k\pi=\pi+2k\pi\) ou \(u=-\alpha+2k\pi=-\pi+2k\pi\). Or \(-\pi+2k\pi=\pi+2(k-1)\pi\) : la seconde famille est identique à la première (décalage de l'indice). Il reste

   \[u=\pi+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z\]

   Autrement dit \(u\) est un multiple impair de \(\pi\), ce qu'on peut aussi écrire \(u=(2k+1)\pi\).

5. Revenir à \(x\)

   \[10x=\pi+2k\pi\iff x=\frac{\pi+2k\pi}{10}\]\[x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{10}=\frac{\pi}{10}+\frac{k\pi}{5}\]
   PiègeDiviser seulement \(\pi\) par \(10\) et garder \(+2k\pi\) : le terme périodique doit lui aussi être divisé. La fonction \(x\mapsto\cos(10x)\) a pour période \(\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}\), et c'est bien ce pas qu'on retrouve.

6. Compter les solutions sur un tour

   Dans \([0;2\pi[\), on obtient une solution pour chaque \(k\) tel que \(0\le\frac{\pi}{10}+\frac{k\pi}{5}\lt2\pi\), soit \(k=0,1,\dots,9\) : dix solutions (\(\frac{\pi}{10},\frac{3\pi}{10},\frac{5\pi}{10},\dots,\frac{19\pi}{10}\)). C'est normal : sur un tour, la courbe de \(\cos(10x)\) fait dix oscillations et atteint dix fois son minimum.

7. Vérifier

   \(x=\frac{\pi}{10}\) : \(\cos\left(10\times\frac{\pi}{10}\right)=\cos\pi=-1\). \(x=\frac{3\pi}{10}\) : \(\cos(3\pi)=\cos(\pi+2\pi)=\cos\pi=-1\). Cohérent.

1. Ramener au type \(\sin u=a\)

   Le membre de droite est un nombre : \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\). On pose \(u=2x\) ; l'équation devient \(\sin u=\frac{\sqrt2}{2}\), avec \(\frac{\sqrt2}{2}\in[-1;1]\).

2. Angle de référence

   \[\alpha=\arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}\qquad\left(\frac{\pi}{4}\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\right)\]

   Ici l'énoncé donne directement l'angle de référence, ce qui est le cas général : \(\sin A=\sin B\iff A=B+2k\pi\) ou \(A=\pi-B+2k\pi\).

3. Première famille pour \(u\)

   \[2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\]

4. Deuxième famille pour \(u\) (symétrique par rapport à \(Oy\))

   \[2x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\]

5. Revenir à \(x\) en divisant tout par 2

   \[x=\frac{\pi}{8}+k\pi\qquad\text{ou}\qquad x=\frac{3\pi}{8}+k\pi\]

   Le pas périodique devient \(\frac{2k\pi}{2}=k\pi\), cohérent avec la période \(\frac{2\pi}{2}=\pi\) de \(x\mapsto\sin(2x)\).

6. Compter les solutions sur un tour

   Dans \([0;2\pi[\) : \(\frac{\pi}{8},\ \frac{3\pi}{8},\ \frac{9\pi}{8},\ \frac{11\pi}{8}\), soit quatre solutions (deux par période de longueur \(\pi\)).

7. Vérifier

   \(x=\frac{3\pi}{8}\) : \(\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{4}\). \(x=\frac{9\pi}{8}\) : \(\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}+2\pi\right)=\sin\frac{\pi}{4}\). Cohérent.

1. Changement de variable

   On pose \(t=\sin x\), \(t\in[-1;1]\). L'équation devient \(t^2+t=2\).

2. Mettre sous la forme \(at^2+bt+c=0\)

   \[t^2+t-2=0\qquad(a=1,\ b=1,\ c=-2)\]
   PiègeIl faut d'abord ramener le second membre à \(0\) ; la formule du discriminant ne s'applique pas à \(t^2+t=2\) tel quel.

3. Discriminant

   \[\Delta=1^2-4\times1\times(-2)=1+8=9,\qquad\sqrt\Delta=3\]

4. Racines

   \[t=\frac{-1\pm3}{2}\]\[t_1=\frac{2}{2}=1,\qquad t_2=\frac{-4}{2}=-2\]

   Contrôle :

   \[(t-1)(t+2)=t^2+2t-t-2=t^2+t-2\]

5. Trier selon la contrainte \(t\in[-1;1]\)

   \(t_2=-2\notin[-1;1]\) : rejetée, aucun angle n'a un sinus égal à \(-2\). Seule \(t_1=1\) est retenue.

6. Revenir à \(x\)

   \(\sin x=1\iff x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (voir E2, étape 5 : les deux familles coïncident).

7. Vérifier

   \(x=\frac{\pi}{2}\) : \(1^2+1=2\). Cohérent. Et par exemple \(x=\frac{3\pi}{2}\) : \((-1)^2+(-1)=0\ne2\), bien non solution.

Deux méthodes sont présentées : par la tangente (la plus courte) et par la relation fondamentale (la plus sûre). Elles doivent donner le même ensemble.

Méthode 1 : passer par la tangente

1. Montrer que \(\cos x\ne0\) pour toute solution

   Si \(\cos x=0\), la relation fondamentale \(\cos^2x+\sin^2x=1\) donne \(\sin^2x=1\). L'équation deviendrait \(3\times0=1\), faux. Donc aucune solution n'annule \(\cos x\), et on peut diviser par \(\cos^2x\ne0\).

2. Diviser par \(\cos^2x\)

   \[\frac{3\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\iff3=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2\]\[\iff\tan^2x=3\]

3. Extraire la racine carrée (deux cas !)

   \[\tan x=\sqrt3\qquad\text{ou}\qquad\tan x=-\sqrt3\]
   PiègeOublier la racine négative. \(t^2=3\) a deux solutions, \(\sqrt3\) et \(-\sqrt3\).

4. Résoudre \(\tan x=\sqrt3\)

   C'est l'exemple D3 : \(x=\frac{\pi}{3}+k\pi\).

5. Résoudre \(\tan x=-\sqrt3\)

   \(\alpha=\arctan(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3}\) (la tangente est impaire : \(\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\tan\frac{\pi}{3}=-\sqrt3\), et \(-\frac{\pi}{3}\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[\)). Donc \(x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\). Avec \(k=1\) : \(-\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{2\pi}{3}\), donc cette famille s'écrit aussi \(x=\frac{2\pi}{3}+k\pi\).

6. Réunir

   \[S=\left\{\frac{\pi}{3}+k\pi\ ;\ \frac{2\pi}{3}+k\pi\ \middle|\ k\in\mathbb Z\right\}\]\[\phantom{S}=\left\{\pm\frac{\pi}{3}+k\pi\ \middle|\ k\in\mathbb Z\right\}\]

Méthode 2 : passer par la relation fondamentale

1. Exprimer \(\sin^2x\) en fonction de \(\cos^2x\)

   De \(\cos^2x+\sin^2x=1\) : \(\sin^2x=1-\cos^2x\).

2. Substituer

   \[3\cos^2x=1-\cos^2x\iff3\cos^2x+\cos^2x=1\]\[\iff4\cos^2x=1\iff\cos^2x=\frac14\]

3. Extraire la racine carrée

   \[\cos x=\frac12\qquad\text{ou}\qquad\cos x=-\frac12\]

4. Résoudre \(\cos x=\frac12\)

   \(\alpha=\arccos\frac12=\frac{\pi}{3}\) ; \(x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\).

5. Résoudre \(\cos x=-\frac12\)

   C'est l'exemple D2 : \(x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\).

6. Comparer avec la méthode 1

   Les quatre familles \(\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\) et \(\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi\) donnent dans \([0;2\pi[\) : \(\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}\). Or \(\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}\) et \(\frac{2\pi}{3}+\pi=\frac{5\pi}{3}\) : ce sont exactement les angles de \(\frac{\pi}{3}+k\pi\) et \(\frac{2\pi}{3}+k\pi\). Les deux méthodes concordent.