Séance 3 : les neuf exercices corrigés

a) \(\sin\frac{\pi}{6}\)

\(\frac{\pi}{6}=30^\circ\) est dans la table : \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac12\). (Dans le triangle équilatéral de côté \(1\) coupé en deux, le côté opposé à l'angle de \(30^\circ\) mesure \(\frac12\).)

b) \(\cos\frac{\pi}{3}\)

\(\frac{\pi}{3}=60^\circ\) : \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\). On remarque que \(\cos\frac{\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{6}\) : \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{\pi}{6}\) sont complémentaires (\(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)) et \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta\).

c) \(\tan\frac{\pi}{4}\)

d) \(\sin\frac{3\pi}{4}\)

\(\frac{3\pi}{4}=135^\circ\) : quadrant II, sinus positif. \(\frac{3\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{4}\) et \(\sin(\pi-\theta)=\sin\theta\) :

e) \(\cos\frac{5\pi}{6}\)

\(\frac{5\pi}{6}=150^\circ\) : quadrant II, cosinus négatif. \(\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}\) et \(\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\) :

f) \(\tan\frac{7\pi}{6}\)

\(\frac{7\pi}{6}=210^\circ\) : quadrant III, où sinus et cosinus sont négatifs, donc la tangente est positive. \(\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}\) et la tangente est \(\pi\)-périodique :

a) \(\sin\frac{5\pi}{6}\)

Quadrant : \(\frac{3\pi}{6}\lt\frac{5\pi}{6}\lt\frac{6\pi}{6}\), donc II. Référence : \(\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}\), \(\theta_0=\frac{\pi}{6}\). Signe : sinus positif en II.

b) \(\cos\frac{3\pi}{4}\)

Quadrant : \(\frac{2\pi}{4}\lt\frac{3\pi}{4}\lt\frac{4\pi}{4}\), donc II. Référence : \(\frac{3\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{4}\), \(\theta_0=\frac{\pi}{4}\). Signe : cosinus négatif en II.

c) \(\tan\frac{5\pi}{3}\)

Quadrant : \(\frac{9\pi}{6}\lt\frac{10\pi}{6}\lt\frac{12\pi}{6}\), soit \(\frac{3\pi}{2}\lt\frac{5\pi}{3}\lt2\pi\) : IV. Référence : \(\frac{5\pi}{3}=2\pi-\frac{\pi}{3}\), \(\theta_0=\frac{\pi}{3}\). Signe : tangente négative en IV (\(\sin\lt0,\ \cos\gt0\)).

d) \(\sin\frac{7\pi}{4}\)

Quadrant : \(\frac{6\pi}{4}\lt\frac{7\pi}{4}\lt\frac{8\pi}{4}\) : IV. Référence : \(\frac{7\pi}{4}=2\pi-\frac{\pi}{4}\), \(\theta_0=\frac{\pi}{4}\). Signe : sinus négatif en IV.

e) \(\cos\frac{4\pi}{3}\)

Quadrant : \(\frac{6\pi}{6}\lt\frac{8\pi}{6}\lt\frac{9\pi}{6}\), soit \(\pi\lt\frac{4\pi}{3}\lt\frac{3\pi}{2}\) : III. Référence : \(\frac{4\pi}{3}=\pi+\frac{\pi}{3}\), \(\theta_0=\frac{\pi}{3}\). Signe : cosinus négatif en III.

f) \(\tan\frac{11\pi}{6}\)

Quadrant : \(\frac{9\pi}{6}\lt\frac{11\pi}{6}\lt\frac{12\pi}{6}\) : IV. Référence : \(\frac{11\pi}{6}=2\pi-\frac{\pi}{6}\), \(\theta_0=\frac{\pi}{6}\). Signe : tangente négative en IV.

Angle opposé \(-x\) : symétrie par rapport à l'axe des abscisses

L'abscisse est conservée, l'ordonnée change de signe. Donc

Le sinus et la tangente sont des fonctions impaires, le cosinus est pair.

Angle supplémentaire \(\pi-x\) : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

L'ordonnée est conservée, l'abscisse change de signe :

Angle \(\pi+x\) : symétrie de centre \(O\) (demi‑tour)

Les deux coordonnées changent de signe :

Conditions d'existence

a), b), d), e), g), h) sont valables pour tout \(x\in\mathbb R\). c) et f) exigent \(\cos x\ne0\), c'est‑à‑dire \(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)).

a) \(\sin(x+2\pi)\)

Ajouter \(2\pi\), c'est faire un tour complet : on retombe sur le même point du cercle. \(\sin(x+2\pi)=\sin x\).

b) \(\cos(x-2\pi)\)

Un tour dans le sens horaire : même point. \(\cos(x-2\pi)=\cos x\).

c) \(\tan(x+\pi)\)

La période de la tangente est \(\pi\) (et non \(2\pi\)) : \(\tan(x+\pi)=\dfrac{-\sin x}{-\cos x}=\tan x\).

d) \(\sin(3\pi-x)\)

On extrait un tour complet : \(3\pi-x=(\pi-x)+2\pi\). Puis on applique le supplémentaire :

e) \(\cos(4\pi+x)\)

\(4\pi=2\times2\pi\) : deux tours complets. \(\cos(4\pi+x)=\cos x\).

f) \(\tan(2\pi-x)\)

\(2\pi-x=(-x)+2\pi\) et \(2\pi=2\times\pi\) est un multiple de la période \(\pi\). Puis la tangente est impaire :

a) La relation fondamentale

Le point \((\cos x;\sin x)\) est sur le cercle de rayon \(1\) centré à l'origine ; par Pythagore, \(\cos^2x+\sin^2x=1\). Donc a) \(=1\).

b) et c) : isoler un terme

De \(\sin^2x+\cos^2x=1\) on tire

d) Définition de la tangente

\(\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x\), à condition que \(\cos x\ne0\), soit \(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\).

e) Remplacer puis simplifier

On utilise c) au numérateur, puis on simplifie par \(\sin x\) (permis puisque \(\sin x\ne0\), sinon la fraction n'existe pas) :

f) Même principe

Un angle de référence

\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac12\), donc \(\alpha=\frac{\pi}{6}\) (c'est \(\arcsin\frac12\)).

Les deux points du cercle

Le second point de même ordonnée est le symétrique par rapport à l'axe vertical : \(\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\).

Ajouter les tours complets

Un angle de référence

Le cosinus est négatif : on cherche dans le quadrant II. \(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\) et \(\cos\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=-\cos\frac{\pi}{4}\), donc \(\alpha=\frac{3\pi}{4}\) (c'est \(\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\), qui est bien dans \([0;\pi]\)).

Le second point

Pour le cosinus, le point de même abscisse est le symétrique par rapport à l'axe horizontal : \(-\frac{3\pi}{4}\).

Solution générale

Dans \([0;2\pi[\) : \(\frac{3\pi}{4}\) et \(-\frac{3\pi}{4}+2\pi=\frac{5\pi}{4}\).

Domaine

\(\tan x\) existe pour \(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\).

Un angle de référence

\(\tan\frac{\pi}{4}=1\), donc \(\alpha=\frac{\pi}{4}=\arctan1\).

Solution générale (période \(\pi\))

Le point diamétralement opposé \(\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}\) a la même tangente : une seule famille suffit.

Un angle de référence

\(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\) et le sinus est impair : \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\). Donc \(\alpha=-\frac{\pi}{3}=\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\).

Le second point

\(\pi-\alpha=\pi-\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4\pi}{3}\).

Solution générale

Dans \([0;2\pi[\) : \(\frac{4\pi}{3}\) et \(-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}\).

Isoler \(\sin x\)

Reconnaître l'exercice 6 a

Mêmes solutions.

Isoler \(\cos x\)

Reconnaître l'exercice 6 b

Mêmes solutions.

Isoler \(\tan x\)

Reconnaître la valeur

\(\frac{\sqrt3}{3}=\frac{1}{\sqrt3}=\tan\frac{\pi}{6}\), donc \(\alpha=\frac{\pi}{6}\).

Solution générale

Isoler \(\sin x\)

Reconnaître l'exercice 6 d

Mêmes solutions.

Diviser par \(\cos x\ne0\)

Reconnaître l'exercice 6 c

Diviser par \(\cos x\ne0\)

Constater que la valeur n'est pas remarquable

\(\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866\) ne figure pas dans la ligne « tangente » de la table (\(0\), \(\frac{\sqrt3}{3}\approx0{,}577\), \(1\), \(\sqrt3\approx1{,}732\)). On utilise donc l'arc tangente :

Solution générale

Diviser par \(\cos x\ne0\)

Angle de référence

La tangente est impaire : \(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1\), donc \(\alpha=-\frac{\pi}{4}=\arctan(-1)\).

Solution générale

Dans \([0;2\pi[\) : \(\frac{3\pi}{4}\) et \(\frac{7\pi}{4}\).

Domaine

La fraction exige \(\cos x\ne0\) : \(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\). Sur ce domaine, l'équation s'écrit \(\tan x=-\sqrt3\).

Angle de référence

\(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3\) et la tangente est impaire : \(\alpha=-\frac{\pi}{3}\).

Solution générale

Aucune de ces valeurs n'est de la forme \(\frac{\pi}{2}+k\pi\) : toutes sont dans le domaine. Dans \([0;2\pi[\) : \(\frac{2\pi}{3}\) et \(\frac{5\pi}{3}\).

Extraire la racine carrée (deux signes)

\(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\)

\(\alpha=\frac{\pi}{6}\) : \(x=\pm\frac{\pi}{6}+2k\pi\).

\(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\)

\(\alpha=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\) : \(x=\pm\frac{5\pi}{6}+2k\pi\).

Regrouper

Les quatre points \(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\) sont deux paires de points diamétralement opposés (\(\frac{7\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+\pi\), \(\frac{11\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+\pi\)). D'où l'écriture compacte \(x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi\).

Isoler \(\sin^2x\)

\(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\)

\(x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\) ou \(x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\).

\(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\)

\(\alpha=-\frac{\pi}{4}\), \(\pi-\alpha=\frac{5\pi}{4}\) : \(x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\) ou \(x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi\).

Regrouper

Dans \([0;2\pi[\) : \(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\), régulièrement espacés de \(\frac{\pi}{2}\). Donc \(x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\).

Changement de variable

On pose \(t=\cos x\), \(t\in[-1;1]\) : \(2t^2-3t+1=0\).

Résoudre en \(t\)

\(\Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot1=9-8=1\), donc

(Contrôle : \(2t^2-3t+1=(t-1)(2t-1)\).) Les deux valeurs sont dans \([-1;1]\).

\(\cos x=1\)

Un seul point du cercle, \((1;0)\) : \(x=2k\pi\).

\(\cos x=\frac12\)

\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\).

Tout passer dans un membre

\(2\sin^2x+\sin x-1=0\). Avec \(t=\sin x\in[-1;1]\) : \(2t^2+t-1=0\).

Résoudre en \(t\)

\(\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9\), donc

(Contrôle : \(2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)\).) Les deux sont dans \([-1;1]\).

\(\sin x=\frac12\)

\(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\) (Exercice 6 a).

\(\sin x=-1\)

Un seul point, le bas du cercle : \(x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\) (ou \(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\)).

Écriture compacte (facultative)

\(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{5\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}\), \(\frac{3\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3}\) : les trois familles se réunissent en \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\).

N'avoir plus qu'une seule fonction

On remplace \(\cos^2x\) par \(1-\sin^2x\) :

On multiplie par \(-1\) : \(2\sin^2x-3\sin x+1=0\).

Résoudre en \(t=\sin x\)

\(2t^2-3t+1=0\) : c'est l'équation de 9 c, donc \(t=1\) ou \(t=\frac12\).

\(\sin x=1\)

Le haut du cercle : \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\).

\(\sin x=\frac12\)

\(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\).

Exprimer \(\sin^2x\) en fonction de \(\cos x\)

Résoudre en \(t=\cos x\)

\(2t^2+3t-2=0\) ; \(\Delta=9+16=25\), donc

Éliminer la racine impossible

\(t_2=-2\lt-1\) : un cosinus est toujours dans \([-1;1]\), donc \(\cos x=-2\) n'a aucune solution.

\(\cos x=\frac12\)

\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\).