Partie 1 · Mesurer les angles
Support, pages 4–5.
Deux unités
Le degré (°) : un tour complet correspond à \(360^\circ\).
Le radian (rad) : un angle mesure \(1\) rad lorsque la longueur de l'arc de cercle intercepté est égale au rayon. La circonférence d'un cercle vaut \(2\pi r\), donc un tour complet correspond à \(2\pi\) rad.
Les deux unités décrivent le même angle avec une échelle différente.
Conversion
De \(360^\circ=2\pi\) rad on tire \(180^\circ=\pi\) rad, puis :
\[1^\circ=\frac{\pi}{180}\ \text{rad}\]\[1\ \text{rad}=\frac{180}{\pi}\,^\circ\approx57{,}3^\circ\]- Degrés \(\to\) radians : multiplier par \(\dfrac{\pi}{180}\).
- Radians \(\to\) degrés : multiplier par \(\dfrac{180}{\pi}\).
Exemples corrigés : A1 (\(120^\circ=\frac{2\pi}{3}\) rad) et A2 (\(\frac{3\pi}{4}\) rad \(=135^\circ\)).
Partie 2 · Le cercle trigonométrique
Support, pages 7–9.
Définition
Le cercle trigonométrique est un cercle de centre \(O\), de rayon \(1\), orienté dans le sens anti‑horaire (sens positif). Son point de départ est \((1\,;0)\). Les axes le découpent en quatre quadrants numérotés I, II, III, IV dans le sens positif.
- \(0^\circ\) ou \(360^\circ\) : \(0\) ou \(2\pi\) rad, point \((1;0)\)
- \(90^\circ\) : \(\frac{\pi}{2}\) rad, point \((0;1)\)
- \(180^\circ\) : \(\pi\) rad, point \((-1;0)\)
- \(270^\circ\) : \(\frac{3\pi}{2}\) rad, point \((0;-1)\)
Sinus et cosinus
Pour un angle \(\theta\), le point associé sur le cercle est \(P(\cos\theta\,;\sin\theta)\) : \(\cos\theta\) est l'abscisse de \(P\) et \(\sin\theta\) son ordonnée. Comme \(P\) est sur un cercle de rayon \(1\) :
\[-1\le\cos\theta\le1,\qquad-1\le\sin\theta\le1\]Relation fondamentale (théorème de Pythagore dans le triangle \(O\), projeté, \(P\), d'hypoténuse \(1\)) :
\[\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\quad\forall\theta\in\mathbb R\]Tangente et cotangente
\[\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]Non définie si \(\cos\theta=0\), c'est‑à‑dire \(\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)). Géométriquement, \(\tan\theta\) est l'ordonnée du point où la droite \(OP\) coupe la droite verticale \(x=1\) (l'« axe des tangentes »).
\[\operatorname{cotan}\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{1}{\tan\theta}\]Non définie si \(\sin\theta=0\), c'est‑à‑dire \(\theta=k\pi\).
Explorateur du cercle
Déplacez le curseur pour voir le point \(P\), ses projections (cosinus en abscisse, sinus en ordonnée), le quadrant et les valeurs numériques.
- En radians
- Quadrant
- cos θ
- sin θ
- tan θ
- cotan θ
- cos² + sin²
Partie 3 · Valeurs trigonométriques et angles associés
Support, pages 11–13.
Les angles les plus utilisés Support, page 11
| \(\theta\) [rad] | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\theta\) [°] | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
| \(\sin\theta\) | \(0\) | \(\dfrac12\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos\theta\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac12\) | \(0\) |
| \(\tan\theta\) | \(0\) | \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | non définie |
| \(\operatorname{cotan}\theta\) | non définie | \(\sqrt3\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) | \(0\) |
Signes dans le cercle Support, page 12
| Quadrant | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) | \(\operatorname{cotan}\) |
|---|---|---|---|---|
| I \(\;(0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2})\) | + | + | + | + |
| II \(\;(\frac{\pi}{2}\lt\theta\lt\pi)\) | + | − | − | − |
| III \(\;(\pi\lt\theta\lt\frac{3\pi}{2})\) | − | − | + | + |
| IV \(\;(\frac{3\pi}{2}\lt\theta\lt2\pi)\) | − | + | − | − |
Le sinus est positif en haut (quadrants I, II), le cosinus à droite (I, IV). Le signe de \(\tan=\frac{\sin}{\cos}\) est le produit des deux : « + » quand sinus et cosinus ont le même signe (I et III).
Angles associés Support, pages 7 et 12–13
- Opposé \(-\theta\) (symétrie d'axe \(Ox\)) : \(\cos(-\theta)=\cos\theta\), \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\), \(\tan(-\theta)=-\tan\theta\).
- Supplémentaire \(\pi-\theta\) (symétrie d'axe \(Oy\)) : \(\sin(\pi-\theta)=\sin\theta\), \(\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\), \(\tan(\pi-\theta)=-\tan\theta\).
- Antisupplémentaire \(\pi+\theta\) (symétrie de centre \(O\)) : \(\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta\), \(\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta\), \(\tan(\pi+\theta)=\tan\theta\).
- Complémentaire \(\frac{\pi}{2}-\theta\) (symétrie d'axe la bissectrice \(y=x\)) : \(\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta\), \(\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta\).
Pourquoi ? La symétrie d'axe \(Ox\) envoie \(P(\cos\theta;\sin\theta)\) sur \((\cos\theta;-\sin\theta)\) : l'abscisse est conservée, l'ordonnée change de signe. Même raisonnement pour les autres symétries. Ces formules ne sont pas écrites dans le support : elles se lisent sur le cercle de la page 7 et servent dans l'exercice de la page 13.
- Situer l'angle (quadrant), au besoin en ajoutant ou retirant \(2\pi\).
- L'écrire sous la forme \(\pm\theta_0\), \(\pi\pm\theta_0\) ou \(2\pi-\theta_0\) avec \(\theta_0\) un angle de la table : c'est l'angle de référence.
- Appliquer la formule d'angle associé, ou lire la valeur de \(\theta_0\) puis mettre le signe du quadrant.
- Vérifier le signe et la valeur (calculatrice dans le bon mode).
Partie 4 · Les fonctions trigonométriques
Support, pages 15–23.
Propriétés des fonctions Support, page 15
- Domaine (de définition) : ensemble de toutes les valeurs de la variable \(x\) pour lesquelles la fonction donne un résultat réel.
- Ensemble image : ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles obtenues lorsqu'on applique la fonction à chaque valeur de son domaine.
- Périodicité : une fonction est périodique de période \(T\) si, pour tout \(x\) de son domaine, \(f(x+T)=f(x)\).
- Parité : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Fonction paire : \(f(-x)=f(x)\) (courbe symétrique par rapport à \(Oy\)). Fonction impaire : \(f(-x)=-f(x)\) (courbe symétrique par rapport à l'origine). Fonction quelconque : ni paire, ni impaire.
La fonction sinus Support, page 16
\[f(x)=\sin x\]- Domaine : \(\mathbb R\)
- Ensemble image : \([-1;1]\)
- Période : \(2\pi\)
- Parité : impaire (\(\sin(-x)=-\sin x\))
La fonction cosinus Support, page 17
\[f(x)=\cos x\]- Domaine : \(\mathbb R\)
- Ensemble image : \([-1;1]\)
- Période : \(2\pi\)
- Parité : paire (\(\cos(-x)=\cos x\))
La fonction tangente Support, page 18
\[f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\]- Domaine : \(\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ \middle|\ k\in\mathbb Z\right\}\)
- Ensemble image : \(\mathbb R\)
- Période : \(\pi\)
- Parité : impaire
Les droites verticales en pointillés sont les asymptotes \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), où \(\cos x=0\).
Transformation de la fonction sinus Support, pages 19–23
La fonction sinus peut être transformée en faisant varier trois paramètres : son amplitude \(A\), sa pulsation \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\) et son déphasage \(\varphi\). Elle prend alors la forme générale
\[f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)\]L'amplitude \(A\) Page 20
Indique l'écart maximal entre la courbe et son axe d'oscillation. L'ensemble image devient \([-A;A]\).
Exemple : \(f(x)=3\sin x\) oscille entre \(-3\) et \(3\).
La pulsation \(\omega\) Page 21
Détermine la vitesse d'oscillation. La période devient \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\).
Exemple : \(f(x)=\sin(3x)\) a pour période \(\frac{2\pi}{3}\) : elle fait \(3\) oscillations là où \(\sin x\) en fait une (sur \([0;2\pi]\)).
Le déphasage \(\varphi\) Page 22
Détermine la position de départ de la courbe. Le décalage horizontal vaut \(-\dfrac{\varphi}{\omega}\) (positif : vers la droite).
Exemple : \(f(x)=\sin(x-1)\), ici \(\varphi=-1\) et \(\omega=1\), donc décalage de \(+1\) : la courbe de \(\sin x\) glissée de \(1\) unité vers la droite.
Exemple complet Page 23
\[f(x)=3\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)\]\(A=3\), \(\omega=2\) donc \(T=\pi\), \(\varphi=-\frac{\pi}{2}\) donc décalage \(\frac{\pi}{4}\) vers la droite.
Analyse détaillée : exemple C1.
Partie 5 · Les fonctions réciproques
Support, pages 25–27.
Les fonctions \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\) ne sont pas injectives sur \(\mathbb R\) (plusieurs angles ont le même sinus). On les restreint à un intervalle où elles le sont, et on définit la réciproque sur cet intervalle.
Arc sinus Page 25
Réciproque de \(\sin\) sur \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\). Pour \(x\in[-1;1]\) et \(y\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\) :
\[y=\arcsin x\iff\sin y=x\]- Domaine : \([-1;1]\)
- Ensemble image : \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\)
- Non périodique
- Parité : impaire
Arc cosinus Page 26
Réciproque de \(\cos\) sur \([0;\pi]\). Pour \(x\in[-1;1]\) et \(y\in[0;\pi]\) :
\[y=\arccos x\iff\cos y=x\]- Domaine : \([-1;1]\)
- Ensemble image : \([0;\pi]\)
- Non périodique
- Parité : quelconque
Arc tangente Page 27
Réciproque de \(\tan\) sur \(\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[\). Pour \(x\in\mathbb R\) et \(y\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[\) :
\[y=\arctan x\iff\tan y=x\]- Domaine : \(\mathbb R\)
- Ensemble image : \(\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[\)
- Non périodique
- Parité : impaire
Partie 6 · Équations trigonométriques
Support, pages 29–36.
Type \(\sin x=a\) Pages 29–30
Avec \(a\in[-1;1]\) (sinon : aucune solution).
- Angle de référence : \(\alpha=\arcsin a\).
- Symétrie du cercle (\(k\in\mathbb Z\)) : \(x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\).
Deux points du cercle ont la même ordonnée s'ils sont symétriques par rapport à \(Oy\). Exemple : D1.
Type \(\cos x=a\) Pages 31–32
Avec \(a\in[-1;1]\).
- Angle de référence : \(\alpha=\arccos a\).
- Symétrie du cercle (\(k\in\mathbb Z\)) : \(x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\).
Deux points du cercle ont la même abscisse s'ils sont symétriques par rapport à \(Ox\). Exemple : D2.
Type \(\tan x=a\) Pages 33–34
Avec \(a\in\mathbb R\) (toujours des solutions).
- Angle de référence : \(\alpha=\arctan a\).
- La tangente est \(\pi\)-périodique : \(x=\alpha+k\pi\), \(k\in\mathbb Z\).
Le second point du cercle est diamétralement opposé (\(\alpha+\pi\)), déjà inclus dans la famille. Exemple : D3.
Simplifier l'équation avant de la résoudre Support, page 35
Certaines équations ne sont pas directement du type \(\sin x=a\), \(\cos x=a\) ou \(\tan x=a\). Il faut alors les simplifier par une ou plusieurs méthodes :
- Identités trigonométriques : remplacer \(\tan x\) par \(\frac{\sin x}{\cos x}\), ou \(\sin^2x\) par \(1-\cos^2x\). Exemple : \(\sin x=\tan x\iff\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}\) (E1).
- Factorisation : \(\sin^2x-\sin x=0\iff\sin x\,[\sin x-1]=0\), puis règle du produit nul (E2).
- Changement de variable : \(2\sin^2x-3\sin x+1=0\), on pose \(t=\sin x\) avec \(t\in[-1;1]\), d'où \(2t^2-3t+1=0\) (E3).
Exercices de synthèse (page 36 du support) : F1, F2, F3, F4.